Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i…

Apunts de Matemàtiques II per a la PAU de Catalunya: funcions, derivades i integrals, matrius i sistemes, geometria de l'espai i probabilitat, amb mètodes pas a pas.

Funcions i límits — Funcions elementals: tipus, domini i propietats

Una funció real de variable real assigna a cada valor de $x$ (la variable independent) un únic valor $y=f(x)$ (la variable dependent). El domini, $\mathrm{Dom}(f)$ , és el conjunt de valors on es pot calcular $f(x)$ . El recorregut (o imatge) és el conjunt de valors que pren $y$ . Abans de calcular límits o derivades cal saber on existeix la funció i quina forma té la seva gràfica.

Esquema

Funcions i límits

📈Funcions elementalsFamílies, domini, talls, signe i simetries

🚧DominiDenominadors, arrels parelles, logaritmes

✂️Talls i signePunts sobre els eixos i taula de signes

🦋SimetriesFuncions parelles i senars

🧩Funcions a trossosInclou la funció valor absolut

🎯LímitsQuè fa la funció prop d'un valor

📏AsímptotesVerticals, horitzontals i obliqües, calculades amb límits

🔗ContinuïtatDefinida amb límits; teorema de Bolzano

Famílies de funcions elementals

Cada família té una gràfica característica. Si la reconeixes, pots fer-ne un esbós amb molt pocs punts. Les polinòmiques, les racionals i les irracionals són algebraiques: només fan servir sumes, productes, quocients i arrels. Les exponencials, les logarítmiques i les trigonomètriques són transcendents.

Esquema

Funcions elementals

🧮AlgebraiquesSumes, productes, quocients i arrels

PolinòmiquesDomini ℝ

RacionalsDenominador diferent de 0

IrracionalsÍndex parell: radicand ≥ 0

🌀TranscendentsNo es redueixen a operacions algebraiques

🚀ExponencialsSempre positives, passen per (0, 1)

🪵LogarítmiquesArgument > 0, passen per (1, 0)

🌊TrigonomètriquesPeriòdiques: sinus, cosinus i tangent

Família	Exemple	Domini	Gràfica i punts clau
Polinòmica	$x^3-2x+1$	$\mathbb{R}$	Traç continu, sense salts. Grau 1: recta. Grau 2: paràbola amb vèrtex a $x=-\frac{b}{2a}$ .
Racional	$\frac{x+1}{x-2}$	$\mathbb{R}$ menys els zeros del denominador	Branques que s'acosten a rectes (vegeu «Funcions i límits — Asímptotes verticals, horitzontals i obliqües»).
Irracional	$\sqrt{x-3}$ , $\sqrt[3]{x}$	Índex parell: radicand $\ge 0$ . Índex senar: $\mathbb{R}$	$\sqrt{x}$ surt de $(0,\ 0)$ , creix i mai és negativa.
Exponencial	$e^x$ , $2^x$ , $\left(\frac{1}{2}\right)^x$	$\mathbb{R}$	Recorregut $(0,+\infty)$ . Passa per $(0,\ 1)$ . Creixent si la base és $a>1$ , decreixent si $0<a<1$ .
Logarítmica	$\ln x$	$(0,+\infty)$	Recorregut $\mathbb{R}$ . Passa per $(1,\ 0)$ i per $(e,1)$ . Creixent.
Trigonomètrica	$\sin x$ , $\cos x$ , $\tan x$	$\sin$ i $\cos$ : $\mathbb{R}$ . $\tan$ : $x\neq\frac{\pi}{2}+k\pi$	Periòdiques (apartat següent).

L'exponencial $e^x$ i el logaritme neperià $\ln x$ són funcions inverses: l'una desfà l'altra, $\ln(e^x)=x$ . Per això les seves gràfiques són simètriques respecte de la recta $y=x$ . Els punts clau també es corresponen: $e^0=1$ dona el punt $(0,\ 1)$ i $\ln 1=0$ dona el punt $(1,\ 0)$ . A més, $\ln e=1$ .

Com que $e^x>0$ per a tot $x$ , la gràfica de l'exponencial queda sempre per sobre de l'eix OX. Per l'esquerra s'hi acosta molt, però no el toca. El logaritme fa el contrari: $\ln x$ només està definit per a $x>0$ i baixa sense fi quan $x$ s'acosta a 0 per la dreta.

Per què la funció

f(x)=e^x+3

no talla mai l'eix OX?

Perquè

e^x>0

per a tot

x

, de manera que

f(x)>3

sempre. Mai no pot valer 0.

Funcions trigonomètriques i les seves transformacions

Els angles es mesuren en radians. Una funció és periòdica si es repeteix: hi ha un nombre $T>0$ tal que $f(x+T)=f(x)$ per a tot $x$ . El més petit d'aquests nombres és el període. L'amplitud és la meitat de la distància entre el valor màxim i el mínim. A la taula, $k$ és qualsevol nombre enter.

Funció	Període	Recorregut	Zeros	Màxim	Mínim
$\sin x$	$2\pi$	$[-1,\ 1]$	$x=k\pi$	1, a $x=\frac{\pi}{2}+2k\pi$	−1, a $x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi$
$\cos x$	$2\pi$	$[-1,\ 1]$	$x=\frac{\pi}{2}+k\pi$	1, a $x=2k\pi$	−1, a $x=\pi+2k\pi$
$\tan x$	$\pi$	$\mathbb{R}$	$x=k\pi$	No en té	No en té

La tangent és $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ . Per això no existeix on el cosinus s'anul·la, és a dir, a $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ .

A l'examen sovint cal reconèixer una gràfica del tipus $f(x)=a\sin(bx)+c$ (o amb cosinus). Cada paràmetre fa una sola cosa:

$a$ estira la gràfica en vertical: l'amplitud és $|a|$ . Si $a<0$ , la gràfica s'inverteix.
$b$ la comprimeix o l'eixampla en horitzontal: el període és $T=\frac{2\pi}{|b|}$ .
$c$ la trasllada amunt o avall: oscil·la entre $c-|a|$ i $c+|a|$ .

Exemple

Per a $f(x)=3\sin(2x)+1$ : amplitud 3, període $\frac{2\pi}{2}=\pi$ , mínim $1-3=-2$ i màxim $1+3=4$ . A $x=0$ val $f(0)=1$ i creix. Arriba al màxim quan $2x=\frac{\pi}{2}$ , és a dir, a $x=\frac{\pi}{4}$ .

El camí invers serveix per identificar una gràfica: amb el màxim $M$ i el mínim $m$ , $|a|=\frac{M-m}{2}$ i $c=\frac{M+m}{2}$ . El període és la distància entre dos màxims consecutius.

Una gràfica del tipus

a\cos(bx)+c

, amb

a,b>0

, té màxim 5, mínim 1 i dos màxims consecutius separats per

\pi

. Quina funció és?

a=\frac{5-1}{2}=2

c=\frac{5+1}{2}=3

. De

\frac{2\pi}{b}=\pi

surt

b=2

f(x)=2\cos(2x)+3

Càlcul del domini

Les polinòmiques, les exponencials, el sinus, el cosinus i les arrels d'índex senar existeixen per a qualsevol nombre real. Només tres operacions treuen punts del domini:

Denominador: ha de ser diferent de 0. Se'n treuen els zeros.
Arrel d'índex parell: el radicand ha de ser $\ge 0$ .
Logaritme: l'argument ha de ser estrictament positiu, > 0.

Localitza tots els denominadors, arrels parelles i logaritmes de la fórmula.
Escriu la condició de cadascun.
Resol cada condició. Si és una inequació amb un quocient o un polinomi, fes una taula de signes: zeros del numerador i del denominador, intervals i un valor de prova a cada interval.
Fes la intersecció de totes les condicions i escriu-la amb intervals. Els zeros d'un denominador sempre queden fora.

La mateixa idea val per a les operacions entre funcions. El domini de $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ , de la resta o del producte $(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$ és la part comuna dels dos dominis.

Exemple

Domini de $g(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x-3}}$ . Cal $\frac{x+2}{x-3}\ge 0$ i, a més, $x\neq 3$ . Els punts frontera són $x=-2$ (anul·la el numerador: hi entra) i $x=3$ (anul·la el denominador: no hi entra).

Interval	$(-\infty,-2)$	$(-2,\ 3)$	$(3,+\infty)$
$x+2$	−	+	+
$x-3$	−	−	+
Quocient	+	−	+

Resultat: $\mathrm{Dom}(g)=(-\infty,-2]\cup(3,+\infty)$ . Un cas amb logaritme: $\ln(x^2-4x)$ demana $x(x-4)>0$ , que es compleix a $(-\infty,0)\cup(4,+\infty)$ .

Error freqüent

Escriure $\ge 0$ per a l'argument d'un logaritme. El domini de $\ln(x-1)$ és $(1,+\infty)$ , no $[1,+\infty)$ , perquè $\ln 0$ no existeix. Igualment, $\ln(x^2)$ té domini $\mathbb{R}-\{0\}$ , no $\mathbb{R}$ . Abans de tancar un interval amb un claudàtor, pregunta't si aquell punt anul·la un argument de logaritme o un denominador.

Talls amb els eixos i signe d'una funció

Tall amb l'eix OY: es fa $x=0$ , només si 0 és del domini. Hi ha com a molt un punt, $(0,f(0))$ , perquè cada $x$ té una sola imatge.
Talls amb l'eix OX: es resol $f(x)=0$ i es descarten les solucions de fora del domini. Un quocient és zero quan ho és el numerador.
Signe: els zeros i els punts exclosos del domini divideixen la recta en intervals. En aquest curs, dins de cada interval la funció manté el mateix signe; n'hi ha prou amb un valor de prova. Ho justifica la continuïtat (vegeu «Funcions i límits — Continuïtat i teorema de Bolzano»).

Exemple

$f(x)=\frac{x^2-4}{x+1}$ , amb domini $\mathbb{R}-\{-1\}$ . Tall amb OY: $f(0)=-4$ , punt $(0,-4)$ . Talls amb OX: $x^2-4=0\Rightarrow x=\pm 2$ , punts $(-2,\ 0)$ i $(2,\ 0)$ . Valors de prova: $f(-3)=-\frac{5}{2}$ , $f(-1{,}5)=\frac{7}{2}$ , $f(0)=-4$ i $f(3)=\frac{5}{4}$ . Per tant, $f<0$ a $(-\infty,-2)\cup(-1,\ 2)$ i $f>0$ a $(-2,-1)\cup(2,+\infty)$ .

Calcula els talls amb els eixos de

f(x)=\ln(x+3)

El domini és

x>-3

. Amb OY:

f(0)=\ln 3

, punt

(0,\ln 3)

. Amb OX:

x+3=1

, perquè

\ln 1=0

; punt

(-2,\ 0)

Simetries: funcions parelles i senars

Definició

Funció parella: $f(-x)=f(x)$ . La gràfica és simètrica respecte de l'eix OY.

Funció senar: $f(-x)=-f(x)$ . La gràfica és simètrica respecte de l'origen.

Per comprovar-ho, es calcula $f(-x)$ , se simplifica i es compara amb $f(x)$ i amb $-f(x)$ . El domini ha de ser simètric: si $x$ hi és, $-x$ també. La simetria estalvia feina, perquè n'hi ha prou d'estudiar la meitat $x\ge 0$ .

$f(x)=x^4-3x^2$ : $f(-x)=x^4-3x^2=f(x)$ . És parella.
$g(x)=\frac{x}{x^2+1}$ : $g(-x)=\frac{-x}{x^2+1}=-g(x)$ . És senar.
$h(x)=x^2+x$ : $h(-x)=x^2-x$ , que no és ni $h(x)$ ni $-h(x)=-x^2-x$ . No té cap de les dues simetries.

Per recordar-ho

El nom ve dels exponents. Un polinomi només amb potències parelles (i constant) és parell, com $x^2$ . Un polinomi només amb potències senars és senar, com $x^3$ . El cosinus és parell; el sinus i la tangent són senars. Una funció senar definida a 0 compleix $f(0)=0$ : passa per l'origen.

PAU · 2025, Juny, sèrie 4

Exercici 1

Considereu la funció $f(x)=+\sqrt{1+x^3}$ .

a) Indiqueu el domini d'aquesta funció i els talls de la corba $y=f(x)$ amb els eixos de coordenades. [0,5 punts]

Resolució

Es demanen tres coses: el domini, el tall amb l'eix OY i els talls amb l'eix OX.

Domini. És una arrel quadrada, d'índex parell: el radicand ha de ser $\ge 0$ . Queda $1+x^3\ge 0\Rightarrow x^3\ge -1$ . La funció $x^3$ és creixent, i per això podem fer l'arrel cúbica als dos costats sense girar la desigualtat: $x\ge -1$ . Per tant, $\mathrm{Dom}(f)=[-1,+\infty)$ .

Tall amb l'eix OY. El 0 és del domini. $f(0)=\sqrt{1+0^3}=1$ , i el punt és $(0,\ 1)$ .

Talls amb l'eix OX. Es resol $f(x)=0$ : $\sqrt{1+x^3}=0\Rightarrow 1+x^3=0\Rightarrow x^3=-1\Rightarrow x=-1$ . Aquest valor és del domini, i el tall és només el punt $(-1,\ 0)$ .

El signe + davant l'arrel indica que es pren l'arrel positiva. La corba queda per sobre de l'eix OX i només el toca a $(-1,\ 0)$ .

Ara tu

Considera la funció $f(x)=\sqrt{8-x^3}$ . Troba el domini i els talls amb els eixos.

Primers passos: és una arrel d'índex parell, i cal $8-x^3\ge 0$ , és a dir, $x^3\le 8$ .

Et toca acabar la inequació, escriure el domini amb intervals i calcular els dos talls.

Com que $x^3$ és creixent, $x^3\le 8\Rightarrow x\le 2$ . Domini: $(-\infty,2]$ . Tall amb OY: $f(0)=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ , punt $(0,\ 2\sqrt{2})$ . Tall amb OX: $8-x^3=0\Rightarrow x=2$ , punt $(2,\ 0)$ .

Idees clau

El domini només es restringeix per tres motius: denominador $\neq 0$ , radicand d'arrel parella $\ge 0$ i argument del logaritme $> 0$ .
El tall amb OY s'obté amb $x=0$ (si 0 és del domini); els talls amb OX són les solucions de $f(x)=0$ que són del domini.
El signe s'estudia dividint la recta pels zeros i pels punts exclosos del domini i provant un valor a cada interval.
Parella: $f(-x)=f(x)$ , simètrica respecte de l'eix OY; senar: $f(-x)=-f(x)$ , simètrica respecte de l'origen.
A $a\sin(bx)+c$ , l'amplitud és $|a|$ , el període $\frac{2\pi}{|b|}$ i la funció oscil·la entre $c-|a|$ i $c+|a|$ .
Punts clau: $e^0=1$ , $\ln 1=0$ , $\ln e=1$ ; $e^x>0$ per a tot $x$ .

Posa a prova el que has après

Quin és el domini de f(x) = ln(x − 1)? — (1, +∞)
Respecte de què és simètrica la gràfica d'una funció senar? — Respecte de l'origen
Quin és el període de f(x) = 2·sin(3x) − 1? — 2π/3
On talla l'eix OX la funció f(x) = eˣ − 1? — En x = 0

Funcions i límits — Funcions a trossos i funció valor absolut

Funcions definides a trossos

Una funció a trossos fa servir una expressió diferent a cada interval de la recta real. Cada expressió només val dins del seu interval. Les tarifes per trams o un impost que canvia segons els ingressos es modelitzen així.

lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna ali

r adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod te

or incididunt ut lab

na aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eius

s nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore e

s nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lore

quat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempo

Secció completa amb Premium

Idees clau

na aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo cons
s nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur
s nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipisci
quat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incidi
ctetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore

Funcions i límits — Límits de funcions i indeterminacions

Límit en un punt i límits laterals

El límit $\lim_{x\to a} f(x)=L$ diu a quin valor s'acosta $f(x)$ quan $x$ s'acosta a $a$ . No importa què passa exactament a $a$ : la funció pot no estar-hi definida o valer-hi una altra cosa.

lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea

r adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam q

or incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua

s nostrud exercitation

s nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna al

quat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit

ctetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqu

tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi u

e magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit am

m quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad mi

aboris nisi ut aliquip ex ea

consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididu

consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet

usmod tempor incididunt ut labore

dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet conse

Secció completa amb Premium

Idees clau

na aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip
s nostrud exercitation ullamco laboris nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt u
s nisi ut aliquip ex ea commodo consequat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing
quat lorem ipsum dolor sit amet consectetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut
ctetur adipiscing elit sed do eiusmod tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitat
tempor incididunt ut labore et dolore magna aliqua ut enim ad minim veniam quis nostrud exercitation ullamco

Apunts de Matemàtiques II: anàlisi, matrius, geometria i probabilitat

Índex

Funcions i límits — Funcions elementals: tipus, domini i propietats

Famílies de funcions elementals

Funcions trigonomètriques i les seves transformacions

Càlcul del domini

Talls amb els eixos i signe d'una funció

Simetries: funcions parelles i senars

Idees clau

Posa a prova el que has après

Funcions i límits — Funcions a trossos i funció valor absolut

Funcions definides a trossos

Idees clau

Funcions i límits — Límits de funcions i indeterminacions

Límit en un punt i límits laterals

Idees clau