Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II Selectividad Cataluña 2021 · Juny Serie 2

1. Una fàbrica estima que el benefici mensual, en milers d'euros, per cada tona de confeti venuda és donat per la funció $f(x) = \frac{-0,2x^2 + 5x - 20}{x}$, en què $x$ representa el nombre de tones de confeti venudes.

a)

Determineu en quin interval de valors s'ha de trobar la variable $x$ perquè la fàbrica no tingui pèrdues.

[1,25 punts]

b)

Calculeu la quantitat de tones de confeti que proporciona el benefici màxim i digueu quin és aquest benefici.

[1,25 punts]

2. En una pastisseria volen preparar capsetes de panellets per a obsequiar els millors clients durant la setmana de la Castanyada. En total, disposen de 120 panellets de pinyons i de 150 panellets de coco. Volen preparar capsetes de dos tipus: les del primer tipus contindran 3 panellets de pinyons i 2 de coco, i les del segon tipus contindran 4 panellets de pinyons i 6 de coco. La idea de la pastisseria és preparar el nombre màxim de capsetes possible amb els panellets de què disposen tenint en compte que, com a mínim, han de preparar 9 capsetes de cada tipus.

a)

Determineu la funció objectiu i les restriccions. Dibuixeu la regió factible. [1,25 punts]

b)

Determineu quantes capsetes cal preparar de cada tipus per a fer el màxim nombre d'obsequis possible. Indiqueu si, en aquest cas, s'utilitzaran tots els panellets disponibles i, si no és així, quants en sobraran de cada tipus. [1,25 punts]

3. En una festa familiar s'han reunit 20 persones. Si comptem el total d'homes i dones junts, observem que n'hi ha el triple que de nens. A més, sabem que, si hi hagués assistit una dona més, el nombre de dones hauria estat igual que el nombre d'homes.

a)

Plantegeu un sistema d'equacions per a esbrinar quants homes ($x$), quantes dones ($y$) i quants nens ($z$) van assistir a la festa. [0,75 punts]

b)

Resoleu el sistema de l'apartat anterior i interpreteu-ne el resultat. [1,75 punts]

4. Un granger vol construir un corral rectangular per als seus conills. Sabem que només disposa de 40 m lineals de tanca metàl·lica.

a)

Anomenem $x$ l'amplària del corral i $y$ la seva llargària. Escriviu la funció que permet calcular l'àrea del corral tenint en compte només l'amplària $x$.

[1,25 punts]

b)

Calculeu en quin punt assoleix el seu màxim la funció que heu trobat a l'apartat anterior. Deduïu quina ha de ser l'amplària $x$ i quina la llargària $y$ perquè el corral tingui l'àrea màxima. Quina serà aquesta àrea màxima?

[1,25 punts]

5. Considereu la matriu $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a)

Trobeu l'expressió general de $A^n$. Demostreu que la inversa de $A^n$ és $\begin{pmatrix} 1 & -n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. [1,25 punts]

b)

Trobeu la matriu $X$ que satisfà l'equació matricial $A^{10} \cdot X - A^{20} = A$. [1,25 punts]

Considereu la funció real de variable real $f(x) = 4x^3 + ax^2 - 2$.

a)

Determineu el valor del paràmetre real $a$ per tal que la funció tingui un extrem relatiu en el punt d'abscissa $x = -1$. [1,25 punts]

b)

Calculeu els intervals de creixement i decreixement de la funció $f(x)$ quan $a = 12$. Indiqueu també els punts en què hi ha extrems relatius i classifiqueu-los. [1,25 punts]