Examen de Matemáticas II PAU Valencia 2021 · Ordinaria

Problema 1. Dado el sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} x + y + (a + 1)z = 2 \\ x + (a - 1)y + 2z = 1 \\ 2x + ay + z = -1 \end{cases}$$

a)

Estudiadlo en función de los valores del parámetro real $a$. (5 puntos)

b)

Encontrad todas las soluciones del sistema cuando éste sea compatible. (5 puntos)

Problema 2. Se dan los planos $\pi_1: x + y + z = a - 1$, $\pi_2: 2x + y + az = a$ y $\pi_3: x + ay + z = 1$.

a)

Determinad la posición relativa de los tres planos en función del parámetro $a$. (4 puntos)

b)

Para $a = 1$, calculad, si existe, la recta de corte entre los planos $\pi_1$ y $\pi_3$. (3 puntos)

c)

Para $a = 2$, calculad, si existe, la recta de corte entre los planos $\pi_1$ y $\pi_2$. (3 puntos)

Consideramos la función $f(x) = \frac{x-1}{x(x+2)}$.

a)

El dominio y las asíntotas de la función. (2 puntos)

b)

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$. (4 puntos)

Consideramos la función $f(x) = \frac{x-1}{x(x+2)}$.

c)

La integral $\int f(x)\,dx$. (4 puntos)

Problema 4. Dada la matriz $$A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & m \\ 0 & m & 0 \\ 2 & 1 & m^2 + 1 \end{bmatrix}$$, se pide:

a)

Obtened el rango de la matriz en función del parámetro $m$. (4 puntos)

b)

Explicad cuándo la matriz $A$ es invertible. (2 puntos)

c)

Resolved la ecuación $XA = I$ donde $I$ es la matriz identidad en el caso $m=1$. (4 puntos)

Problema 5. Dados el punto $P(1,2,3)$ y el plano $\pi \equiv 3x + 2y + z + 4 = 0$, se pide:

a)

Calculad la distancia del punto $P$ al plano $\pi$. (2 puntos)

b)

Calculad el punto $P'$ que es simétrico del punto $P$ respecto del plano $\pi$. (5 puntos)

c)

Calculad la ecuación del plano $\pi'$ que pasa por $P'$ y es paralelo a $\pi$. (3 puntos)

Problema 6. Un espejo plano, cuadrado, de $80\text{ cm}$ de lado, se ha roto por una esquina siguiendo una línea recta. El trozo desprendido tiene forma de triángulo rectángulo de catetos $32\text{ cm}$ y $40\text{ cm}$ respectivamente. En el espejo roto recortamos una pieza rectangular $R$, uno de cuyos vértices es el punto $(x,y)$ (véase la figura).

a)

Hallad el área de la pieza rectangular obtenida como función de $x$, cuando $0 \le x \le 32$. (4 puntos)

b)

Calculad las dimensiones que tendrá $R$ para que su área sea máxima. (4 puntos)

c)

Calculad el valor de dicha área máxima. (2 puntos)