Examen de Matemáticas II PAU Valencia 2021 · Extraordinaria

En las respuestas se deben escribir todos los pasos del razonamiento utilizado.

Problema 1. Se da el sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} 2x - y + z = m \\ x + y + 3z = 0 \\ 5x - 4y + m z = m \end{cases}$$

donde $m$ es un parámetro real. Se pide:

a)

La discusión del sistema de ecuaciones en función del parámetro $m$. [4 puntos]

b)

La solución del sistema cuando $m = 1$. [3 puntos]

c)

Las soluciones del sistema en el caso en que sea compatible indeterminado (en función de $z = \alpha$). [3 puntos]

En las respuestas se deben escribir todos los pasos del razonamiento utilizado.

Problema 2. Se dan las rectas $r: \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ 2x - z - 1 = 0 \end{cases}$, $s: \dfrac{x-1}{1} = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z}{2}$ y el plano $\pi: x + my + z = 2$ que depende del parámetro real $m$. Obtén:

a)

La posición relativa de las rectas $r$ y $s$. [4 puntos]

b)

El valor del parámetro $m$ para que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$. [3 puntos]

c)

Los puntos $A, B, C$ intersección del plano $\pi$ con los ejes de coordenadas cuando $m = 2$, así como el volumen del tetraedro de vértices $A, B, C$ y $P(2,2,2)$. [3 puntos]

Dada la función $f(x) = xe^{1-x^2}$.

a)

El dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos.

(4 puntos)

b)

Las asíntotas y la gráfica de $f$.

(3 puntos)

Dada la función $f(x) = xe^{1-x^2}$.

c)

La integral $\int f(x) dx$.

(3 puntos)

Se dan las matrices $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & a & 1 \\ 1 & a^2-2 & 3 \end{bmatrix}$ y $B = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$. Obtened:

a)

El rango de la matriz $A$ según los valores del parámetro real $a$.

(3 puntos)

b)

Una matriz $C$ tal que $AC = 16I$, siendo $I$ la matriz identidad, cuando $a = 0$.

(4 puntos)

c)

El rango de la matriz $B$ y la discusión de si el sistema $B \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}$ tiene solución.

(3 puntos)

Dados los puntos $P(1,1,0)$, $Q(2,-1,1)$ y $R(\alpha,3,-1)$ se pide:

a)

La ecuación del plano que contiene a $P$, $Q$ y $R$ cuando $\alpha = 1$ y la distancia de dicho plano al origen de coordenadas.

(3 puntos)

b)

La ecuación de la recta $r$ que pasa por $R$ cuando $\alpha = 1$ y es paralela a la recta $s$ que pasa por $P$ y $Q$. Calculad la distancia entre las rectas $r$ y $s$.

(4 puntos)

c)

Los valores de $\alpha$ para los cuales $P$, $Q$ y $R$ están alineados y la ecuación de la recta que los contiene.

(3 puntos)

Problema 6. Queremos diseñar un campo de juego de modo que la parte central sea rectangular, y las partes laterales sean semicircunferencias hacia fuera. La superficie del campo mide $(4 + \pi)$ metros cuadrados. Se quieren pintar todas las rayas de dicho campo tal y como se observa en la figura. Se pide:

a)

Escribid la longitud total de las rayas del campo en función de la altura $y$ del rectángulo. (5 puntos)

b)

Calculad las dimensiones del campo para que la pintura usada sea mínima. (5 puntos)