Examen de Matemáticas II PAU Valencia 2024 · Ordinaria

Se considera el siguiente sistema de ecuaciones lineales que depende de un parámetro real $m$:

$$\begin{cases} -x + y + z = m \\ 2x + my - z = 3m \\ (m - 1)x + 3y - z = 6 + m \end{cases}$$

Se pide:

a)

Discutir el sistema en función de los valores del parámetro $m$. (6 puntos)

b)

Para los valores de $m$ para los que el sistema es compatible indeterminado, encontrar la solución. (4 puntos)

$x =$

$y = \lambda$

$z =$

Se consideran las matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & 2m & m \\ 0 & m & 0 \\ m & 1 & m \end{pmatrix}$ y $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Se pide:

a)

Estudiar el rango de $A$ en función del parámetro real $m$.

[3 puntos]

Si $m \neq 0$ y $m \neq 1$, $\operatorname{rg}(A) =$

Si $m = 0$ o $m = 1$, $\operatorname{rg}(A) =$

b)

Para $m = -1$, resolver la ecuación matricial $AX = B$.

[4 puntos]

c)

Para $m = 0$, calcular $A^5$.

[3 puntos]

Problema 3. Se considera la recta $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{3} = \frac{z+2}{-1}$ y el plano $\pi: 3x - my + z = 1$. Se pide:

a)

Determinar el valor del parámetro real $m$ para que $r$ y $\pi$ sean paralelos. Obtener además los valores de $m$ para los que el plano $\pi$ contiene a la recta $r$. (4 puntos)

b)

Para los valores $m$ del apartado anterior, hallar un plano paralelo a $\pi$, que contenga a la recta $r$. (3 puntos)

c)

Calcular, en función de $m$, la distancia entre $\pi$ y el punto $P = (1, -1, -2)$. (3 puntos)

Un cuadrado tiene dos vértices consecutivos en los puntos $P = (2,1,3)$ y $Q = (1,3,1)$, y los otros dos sobre una recta $r$ que pasa por el punto $R = (4,7,6)$.

Se pide:

a)

Calcular la ecuación de la recta $r$. (2 puntos)

b)

Calcular la ecuación del plano que contiene al cuadrado. (3 puntos)

c)

Hallar las coordenadas de los otros dos vértices. (5 puntos)

Problema 5. Sea la función $f(x) = \dfrac{kx}{e^{2x}}$ donde $k$ es un parámetro real. Se pide:

a)

Obtener el dominio y las asíntotas de $f(x)$. (3 puntos)

b)

Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ y sus máximos y mínimos. (5 puntos)

c)

Justificar que la función siempre se anula en algún punto del intervalo $[-1, 1]$. (2 puntos)

Problema 6. Sea el rectángulo $R$ definido por los puntos del plano $(-1,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$ y $(-1,1)$. Se consideran las gráficas de las funciones $f(x) = x^2$ y $g(x) = a$, $0 < a < 1$, contenidas dentro de $R$. Obtener el valor de $a$ que cumple que el área comprendida entre dichas gráficas es igual a un tercio del área de $R$. (10 puntos)

Una bolsa contiene dos monedas que llamamos $M_1$ y $M_2$. La moneda $M_1$ es una moneda trucada que tiene impresa una cara en uno de sus lados y una cruz en el otro. La probabilidad de obtener cara con la moneda $M_1$ es de $0.6$. La moneda $M_2$ tiene una cara impresa en ambos lados.

a)

Escogemos una moneda al azar de la bolsa, la lanzamos, anotamos el resultado y la devolvemos a la bolsa. Repetimos esta acción tres veces.

1.

2.

b)

Se elige al azar una moneda de la bolsa y se lanza dos veces observándose dos caras. [4 puntos]

Problema 8. Un comercial de venta por teléfono sabe que en el 30% de sus llamadas no consigue una venta. Este comercial realiza 10 llamadas.

Los resultados han de expresarse en forma de fracción o en forma decimal con cuatro decimales de aproximación.

Para la resolución puede emplearse la tabla de la distribución Binomial:

a)

Calcular la probabilidad de que consiga más de 7 ventas. (3 puntos)

b)

Calcular la probabilidad de que consiga al menos 5 ventas. (3 puntos)

c)

Calcular la probabilidad de que consiga un mínimo de 3 ventas y un máximo de 8 ventas. (4 puntos)