Examen de Matemáticas II PAU Valencia 2022 · Extraordinaria

Dado el sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} ax + y = 1 \\ x + z = 1 \\ x + ay + (a - 1)z = a \end{cases}$$

a)

Discutir el sistema en función del parámetro real $a$.

b)

Encontrar todas las soluciones del sistema cuando este sea compatible.

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} a+b & 1 \\ 0 & a-b \end{pmatrix}$:

a)

Calcular los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

b)

Para los valores $a$ y $b$ obtenidos en el apartado anterior, calcular $A^3$ y $A^4$.

c)

Calcular $\det(A^{-50})$ cuando $a^2 - b^2 \neq 0$.

Dados los puntos $A = (2,0,0)$ y $B = (0,1,0)$, y la recta $s: \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{3} = z$:

a)

Hallar la ecuación de la recta $r$ que pasa por los puntos $A$ y $B$.

b)

Determinar la ecuación implícita del plano que contiene a la recta $s$ y es paralelo a la recta $r$.

c)

Calcular la distancia del punto $A$ a la recta $s$.

Dados los puntos $A = (2,1,-2)$ y $B = (3,2,3)$, y el plano $\pi$ definido por $2x + 2y + z = 3$, obtener:

a)

El punto de corte $C$ entre el plano $\pi$ y la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por $B$.

b)

El área del triángulo cuyos vértices son $A$, $B$ y $C$.

Problema 5.

a)

Calcular, indicando todos los pasos, la siguiente integral indefinida:

$$\int \frac{18}{x^2 - 5x - 14}\,dx$$

b)

Determinar, en función de $t$, el valor $\displaystyle\int_8^t \frac{18}{x^2 - 5x - 14}\,dx$.

c)

Determinar el valor de $t$ mayor que 8 para que $\displaystyle\int_8^t \frac{18}{x^2 - 5x - 14}\,dx$ sea igual a $\ln\frac{25}{4}$.

Problema 6.

Considerar la función $f(x) = e^{-x^2}$ para los valores positivos de $x$. Por cada punto $M = (x, f(x))$ de la gráfica de $f$ se trazan dos rectas paralelas a los ejes de coordenadas, $OX$ y $OY$. Estas dos rectas, junto con los ejes de coordenadas, definen un rectángulo.

a)

Determinar el área del rectángulo en función de $x$.

b)

Encontrar el punto $M$ que proporciona mayor área y calcular esta área.