Problema 4 · Matemáticas II PAU Valencia Extraordinaria 2021

Tema: Matrices, determinantes y ecuaciones matriciales · Del examen Extraordinaria (2021)

Enunciado

Se dan las matrices A=[123−1a11a2−23]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -1 & a & 1 \\ 1 & a^2-2 & 3 \end{bmatrix} y B=[1−12][123]B = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}. Obtened:

a)

El rango de la matriz AA según los valores del parámetro real aa.

(3 puntos)

b)

Una matriz CC tal que AC=16IAC = 16I, siendo II la matriz identidad, cuando a=0a = 0.

(4 puntos)

c)

El rango de la matriz BB y la discusión de si el sistema B[xyz]=[1−12]B \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} tiene solución.

(3 puntos)

Enunciado: Problema 4 · Matemáticas II PAU Valencia Extraordinaria 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Valores del parámetro a que anulan el determinante de A

Solución: a=±2a = \pm 2

a) Discusión del rango de A según a

Solución: El rango vale 3 cuando a≠±2a \neq \pm 2 y vale 2 cuando a=±2a = \pm 2.

b) Matriz C tal que AC = 16I cuando a = 0

Solución: C=[2−12240−4242]C = \begin{bmatrix} 2 & -12 & 2 \\ 4 & 0 & -4 \\ 2 & 4 & 2 \end{bmatrix}

c) Rango de la matriz B

Solución: 11

c) Discusión de si el sistema tiene solución

Solución: El sistema tiene solución porque la matriz que obtenemos al añadir a BB la columna [1−12]\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} también tiene rango 1.

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