Problema 2. A - Funciones · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Valencia Ordinaria 2025

Tema: Funciones a trozos y en contexto: continuidad, parámetros, extremos y optimización · Del examen Ordinaria (2025)

Enunciado

Se considera la función:f(x)={1+x21+xsi 0≤x<42x+4si 4≤x<83x+60−x2si 8≤x≤9f(x) = \begin{cases} \dfrac{1 + x^2}{1 + x} & \text{si } 0 \le x < 4 \\[1.5ex] 2x + 4 & \text{si } 4 \le x < 8 \\[1.5ex] 3x + 60 - x^2 & \text{si } 8 \le x \le 9 \end{cases}

Se pide:

a)

Estudiar la continuidad de la función en el intervalo [0,9][0,9]. (0,75 puntos)

b)

Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función en el intervalo [0,9][0,9]. (1,5 puntos)

c)

Calcular los puntos donde la función alcanza el máximo y el mínimo, y cuánto vale la función en esos puntos. (0,5 puntos)

Enunciado: Problema 2. A - Funciones · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Valencia Ordinaria 2025

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Estudiar la continuidad de la función en el intervalo [0,9].

Solución: No es continua en x=4x=4 y sí es continua en x=8x=8. La función es continua en [0,4)∪(4,9][0,4) \cup (4,9].

b) Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función en el intervalo [0,9].

Solución: Decreciente en [0,−1+2)[0, -1+\sqrt{2}) y en (8,9](8,9]; creciente en (−1+2,4)(-1+\sqrt{2}, 4) y en [4,8)[4,8).

c) Calcular los puntos donde la función alcanza el máximo y el mínimo, y cuánto vale la función en esos puntos.

Solución: Mínimo absoluto en x=−1+2x = -1+\sqrt{2} con valor f(−1+2)=22−2f(-1+\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}-2. Máximo absoluto en x=8x = 8 con valor f(8)=20f(8) = 20.

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