Problema 2. B · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Valencia Ordinaria 2025

Tema: Estudio completo y representación de una función racional · Del examen Ordinaria (2025)

Enunciado

Se considera la función:f(x)={1+x21+xsi 0≤x<42x+4si 4≤x<83x+60−x2si 8≤x≤9f(x) = \begin{cases} \dfrac{1 + x^2}{1 + x} & \text{si } 0 \le x < 4 \\[1.5ex] 2x + 4 & \text{si } 4 \le x < 8 \\[1.5ex] 3x + 60 - x^2 & \text{si } 8 \le x \le 9 \end{cases}

Se considera la función:

f(x)=4x2−36x2−2x−8f(x) = \frac{4x^2 - 36}{x^2 - 2x - 8}

Se pide:

a)

Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. (0,5 puntos)

b)

Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. (0,5 puntos)

c)

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales, si existen. (2 puntos)

d)

La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores. (0,5 puntos)

Enunciado: Problema 2. B · Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Valencia Ordinaria 2025

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados.

Solución: Dominio: R∖{−2,4}\mathbb{R} \setminus \{-2, 4\}. Cortes: (−3,0)(-3,0), (3,0)(3,0) y (0,9/2)(0, 9/2).

b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen.

Solución: Asíntotas verticales: x=−2x = -2 y x=4x = 4. Asíntota horizontal: y=4y = 4.

c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales, si existen.

Solución: La función es decreciente en todo su dominio ((−∞,−2)(-\infty, -2), (−2,4)(-2, 4) y (4,∞)(4, \infty)). No tiene máximos ni mínimos locales.

d) La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores.

Solución: Gráfica de la función con sus asíntotas verticales x=−2x = -2, x=4x = 4, asíntota horizontal y=4y = 4 y puntos de corte (−3,0)(-3,0), (3,0)(3,0) y (0,9/2)(0, 9/2).

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