Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Valencia 2022 · Ordinaria

Una agencia inmobiliaria tiene tres locales en alquiler, por los que ha cobrado en total 1650 euros en este mes. La agencia ha pagado al propietario del primer local el 95% de la cantidad que ha cobrado por su alquiler; al propietario del segundo local, el 90% de la cantidad que ha cobrado por su alquiler; y al propietario del tercer local, el 80% de la cantidad que ha cobrado por su alquiler. Tras estos tres pagos, a la agencia le han quedado 132 euros de ganancia. Se sabe también que el alquiler que se cobra por el primer local es el doble de la suma de lo que se cobra por el alquiler de los otros dos locales juntos. ¿Cuántos euros cobra la agencia por cada uno de los tres locales que tiene en alquiler?

(Planteamiento correcto 5 puntos – Resolución correcta 5 puntos)

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Una empresa apícola vende dos tipos de cajas con tres variedades de miel en cada una: miel de romero, miel de azahar y miel multifloral. La caja de tipo A contiene 2 tarros de miel de romero, 2 de azahar y 1 de multifloral. La caja de tipo B contiene 1 tarro de miel de romero, 2 de azahar y 2 de multifloral. Cada día la empresa dispone de 280 tarros de miel de romero, 300 de miel de azahar y 250 de miel multifloral. Con cada caja de tipo A obtiene un beneficio de 7 euros y con cada caja de tipo B obtiene un beneficio de 5 euros.

a)

¿Cuántas cajas de cada tipo debe comercializar para obtener un beneficio máximo? (8 puntos)

b)

¿Cuál es dicho beneficio máximo? (2 puntos)

€

Problema 3. Se considera la función $f(x) = \dfrac{x^2+x-2}{(x+1)^2}$. Se pide:

a)

Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. (2 puntos)

b)

Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. (2 puntos)

c)

Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (2 puntos)

d)

Los máximos y mínimos locales, si existen. (2 puntos)

e)

La representación gráfica de la función a partir de los resultados anteriores. (2 puntos)

Problema 4. En una empresa se ha comprobado que sus beneficios están relacionados con su inversión en publicidad según la función $B(x) = 50\,000 + 40x - \left(\frac{x}{10}\right)^2$, donde $x$ es la inversión en publicidad ($x \ge 0$) y $B(x)$ es el beneficio obtenido, ambos en euros.

a)

Calcula la cantidad invertida en publicidad que produce un beneficio máximo. ¿Cuál es dicho beneficio máximo? [4 puntos]

b)

Calcula los intervalos para la inversión en publicidad en los que los beneficios crecen o decrecen a medida que se invierte en publicidad. [3 puntos]

c)

¿Existe un valor para la inversión en publicidad a partir del cual los beneficios obtenidos serían menores que si no se invirtiera nada en publicidad? En caso afirmativo, determínalo. [3 puntos]

Problema 5. Entre los clientes de una compañía de seguros de automóviles, un $30\%$ tiene menos de 30 años, un $55\%$ tiene entre 30 y 60 años, y el $15\%$ restante tiene más de 60 años. Se sabe que, entre los clientes de menos de 30 años, 3 de cada 4 no presentaron parte de accidente el año pasado; entre los clientes que tienen entre 30 y 60 años, 9 de cada 10 no presentaron parte de accidente el año pasado; y entre los clientes de más de 60 años, 2 de cada 5 no presentaron parte de accidente el año pasado. Seleccionamos al azar un cliente de la compañía.

a)

Llamemos $A$ al suceso “el cliente seleccionado tiene más de 60 años” y llamemos $B$ al suceso “el cliente seleccionado no presentó parte de accidente año pasado”. Calcula $P(A \cup B)$. [3 puntos]

b)

Llamemos $C$ al suceso “el cliente seleccionado tiene 30 años o más” y $D$ al suceso “el cliente seleccionado presentó parte de accidente el año pasado”. Calcula $P(C \cap D)$. [3 puntos]

c)

Si sabemos que el cliente seleccionado presentó parte de accidente el año pasado, calcula la probabilidad de que tenga 60 años o menos. [4 puntos]

Problema 6. En un juego se lanzan dos monedas equilibradas y un dado de seis caras equilibrado. Un jugador gana si obtiene dos caras y un número par en el dado, o bien, si obtiene exactamente una cara y un número mayor o igual que cinco en el dado.

a)

Calcula la probabilidad de que el jugador gane. [2,5 puntos]

b)

Si se sabe que ha ganado, ¿cuál es la probabilidad de que obtuviera dos caras al lanzar las monedas? [2,5 puntos]

c)

Si se sabe que ha ganado, ¿cuál es la probabilidad de que obtuviera un cinco al lanzar el dado? [2,5 puntos]

d)

Llamemos $A$ al suceso “el jugador no gana” y llamemos $B$ al suceso “el jugador obtiene un seis al lanzar el dado”. ¿Son independientes los sucesos $A$ y $B$? [2,5 puntos]

Sí

No