Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Navarra 2024 · Extraordinaria

EJERCICIO 1:

Considere las matrices $A = \begin{pmatrix} a & -4 & 0 \\ 0 & a & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$ y $C = \begin{pmatrix} -1 & 5 & 1 \end{pmatrix}$.

i)

Determine los valores del parámetro $a$ para los cuales $A$ tiene inversa. [2 puntos]

$a_1 =$

$a_2 =$

ii)

Para $a = 2$, calcule la matriz inversa $A^{-1}$. [3 puntos]

iii)

Para $a = 2$, despeje y calcule la matriz $X$ que verifica la ecuación $XA + I = B^t \cdot C$, siendo $I$ la matriz identidad. [5 puntos]

Una empresa dedicada a la comercialización de vino dispone de un terreno cultivable para plantar dos tipos de uva (negra y blanca). El beneficio anual por hectárea dedicada a la plantación de uva negra es de 10000 € y el de cada hectárea dedicada a la plantación de uva blanca es de 7000 €. Siguiendo las recomendaciones de las cooperativas del sector, la parte dedicada a la plantación de uva negra debe estar entre 10 y 25 hectáreas, y la parte dedicada a uva blanca entre 7 y 15 hectáreas. Además, se quiere dedicar a la uva negra no más del doble de hectáreas que a la uva blanca. Sabiendo que no puede cultivar más de 30 hectáreas en total, determine cuántas hectáreas dedicar a cada tipo de uva si se desea maximizar el beneficio anual.

i)

Plantee el problema. (4 puntos)

ii)

Resuélvalo gráficamente e interprete la solución en el contexto del problema. (4 puntos)

iii)

Analice gráficamente qué ocurriría si se eliminara la condición de que se quiere dedicar a la uva negra no más del doble de hectáreas que a la uva blanca. (2 puntos)

EJERCICIO 3:

i)

Calcule las asíntotas de la función $f(x) = \frac{3x^2+1}{9-x^2}$ y estudie la posición de la función respecto a ellas. (5 puntos)

Asíntota horizontal

Asíntotas verticales

Primera asíntota vertical ($x < 0$):

Segunda asíntota vertical ($x > 0$):

EJERCICIO 3

ii)

Calcule la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \frac{2x^3 - 3x + 5}{x}$ que cumpla $F(1) = 1$. (5 puntos)

En una empresa, el coste total de fabricación de $x$ toneladas de un producto viene expresado, en euros, por la función $C(x) = 2x^2 + 4x + 98$. Suponga que se venden todas las toneladas que se fabrican y que cada tonelada del producto se vende por 40 euros. Responda a las siguientes cuestiones:

i)

Determine la función que expresa el beneficio (ingresos menos costes) obtenido en función de $x$. ¿Cuál es el beneficio obtenido si se fabrican 6 toneladas del producto? [3 puntos]

ii)

¿Cuántas toneladas del producto deben fabricarse para que el beneficio sea máximo? ¿A cuánto asciende dicho beneficio? [4 puntos]

iii)

¿Para qué cantidad del producto se tienen pérdidas (beneficios negativos)? [3 puntos]

En un centro escolar se pregunta a los estudiantes de una clase de 2º bachillerato sobre el uso de los servicios sanitarios. Dos de cada cinco hombres y tres de cada cuatro mujeres han acudido a su centro de salud durante este curso.

i)

Se eligen al azar, de forma independiente, un hombre y una mujer de esa clase. Calcule la probabilidad de que al menos uno de ellos haya acudido a su centro de salud. [4 puntos]

Se seleccionan tres estudiantes al azar sin reemplazamiento. Sabiendo que en la clase hay 20 mujeres y 10 hombres, responda a las dos siguientes cuestiones:

ii)

Calcule la probabilidad de que los tres sean hombres. [3 puntos]

iii)

Calcule la probabilidad de que sólo haya una mujer. [3 puntos]

EJERCICIO 6:

i)

Para analizar las preferencias musicales de los habitantes de una región, se realiza una encuesta a 175 adultos y 150 jóvenes. Cien adultos y el 80% de los jóvenes contestaron que no escuchan música clásica. Calcule un intervalo de confianza para la proporción de habitantes que escuchan música clásica, con un nivel de confianza del 93%. Interprete la solución en el contexto del problema. (Utilice cuatro decimales para los cálculos). (5 puntos)

ii)

Dado el siguiente intervalo de confianza al 97% para la puntuación media de los estudiantes de bachiller en un test psicotécnico, [67.4050, 82.5950], determine el tamaño muestral utilizado, sabiendo que la varianza poblacional es 1225. (5 puntos)

(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas).