Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Navarra 2025 · Extraordinaria

Una empresa produce dos modelos de cristales, C1 y C2. Para su fabricación utiliza dos tipos de materia prima (M1 y M2), de las que dispone diariamente de $135\text{ kg}$ y $60\text{ kg}$, respectivamente. La siguiente tabla recoge, para cada modelo de cristal, la cantidad de materia prima de cada tipo necesaria para su fabricación y el tiempo de fabricación:

Materia prima M1 (kg/m²)

Materia prima M2 (kg/m²)

Tiempo de fabricación (minutos/m²)

C1

3

2

22

C2

6

1

14

Sabiendo que la empresa quiere fabricar diariamente al menos $20\text{ m}^2$ de cristal, determine la cantidad diaria que se deberá fabricar de cada modelo de cristal si la empresa desea minimizar el tiempo de fabricación.

i)

Plantee el problema: defina las variables de decisión, la función objetivo a minimizar y el sistema de inecuaciones que determina la región factible.

ii)

Resuélvalo gráficamente e interprete la solución en el contexto del problema:

La siguiente figura muestra el ala de una maqueta de avión de aeromodelismo.

La parte sombreada del corte transversal es la región del plano delimitada por el eje X y la curva que viene dada por la función: $f(x) = 2\sqrt{x} - \frac{x}{5} + 2$, para $0 \le x \le 100$, donde $x$ es la distancia horizontal (en cm) desde la parte delantera del ala e $y$ es la altura (en cm) respecto al eje horizontal.

i)

Calcule la altura máxima del ala y a qué distancia horizontal se alcanza. Razone analíticamente por qué es un máximo relativo.

La siguiente figura muestra el ala de una maqueta de avión de aeromodelismo.

La parte sombreada del corte transversal es la región del plano delimitada por el eje X y la curva que viene dada por la función: $f(x) = 2\sqrt{x} - \frac{x}{5} + 2$, para $0 \le x \le 100$, donde $x$ es la distancia horizontal (en cm) desde la parte delantera del ala e $y$ es la altura (en cm) respecto al eje horizontal.

ii)

Calcule el área de la parte sombreada del corte transversal.

PREGUNTA 3:

Un estudio realizado en una comunidad autónoma concluyó que el tiempo de espera para una intervención de cirugía cardiaca sigue una distribución normal. A partir de una muestra de 100 pacientes operados, se calculó el siguiente intervalo de confianza al 97% para el tiempo medio (en días) de espera para la cirugía: [28.264, 31.736].

i)

Calcule la varianza poblacional y calcule el tiempo medio de espera para la cirugía de la muestra de 100 pacientes. (1.25 puntos)

ii)

Construya un intervalo de confianza al 91% para el tiempo medio de espera para una intervención de cirugía cardiaca. Interprete la solución en el contexto del problema. (1.25 puntos)

PREGUNTA 4

OPCIÓN A:

i)

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, calcule, si es posible, la matriz inversa de $A$.

PREGUNTA 4

OPCIÓN A:

ii)

Calcule y simplifique la derivada de la función $f(x) = \frac{e^{3x}}{2x - 5}$.

PREGUNTA 4

OPCIÓN B:

i)

Dada la matriz $B = \begin{pmatrix} 2 & a & a \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$, calcule los valores de $a$ para los cuales la matriz $B$ tiene inversa.

PREGUNTA 4

OPCIÓN B:

ii)

En un estudio sobre hábitos de compras de libros entre los jóvenes de una región, la mitad de los encuestados hace compras por internet (I), el 40% compra en tiendas físicas (F) y el 35% combina ambas prácticas ($I \cap F$). Se elige un joven al azar.

a)

Calcule la probabilidad de que compre libros en alguno de los dos formatos.

b)

Calcule la probabilidad de que no compre libros en tiendas físicas, sabiendo que tampoco compra en internet.