Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Navarra 2022 · Extraordinaria

Se considera la siguiente matriz dependiente del parámetro real $k$:

$$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -1 & k \\ k & 1 & k \end{pmatrix}$$

i)

Determine los valores de $k$ para los cuales $A$ no tiene inversa. [2 puntos]

ii)

Para $k = 1$, calcule la matriz inversa de $A$. [5 puntos]

iii)

Para $k = 0$, calcule $(A - 2A^t)^2$. [3 puntos]

Una empresa fabrica dos productos P1 y P2, con un coste de fabricación de 20 y 15 euros/kg, respectivamente. Para ello utiliza tres recursos (R1, R2 y R3). La siguiente tabla muestra la cantidad necesaria de cada recurso para obtener un kg de cada producto y la disponibilidad semanal de los recursos. Determine cuántos kg de cada producto deberá fabricar semanalmente esta empresa si desea minimizar el coste de producción, garantizando un nivel de fabricación total de al menos 30 kg.

P1

P2

Disponibilidad semanal

R1

6

3

180

R2

4

5

200

R3

1

1.5

70

i)

Plantee el problema (función objetivo y restricciones). (4 puntos)

ii)

Resuélvalo gráficamente (indique la cantidad óptima de cada producto y el coste mínimo). (4 puntos)

iii)

Analice gráficamente qué ocurriría si la fabricación del producto P2 se encarece y su coste pasa a ser 20 euros/kg. (2 puntos)

EJERCICIO 3

i)

Calcule la derivada de la siguiente función: $y = \dfrac{3}{(2x-3)^2} + \ln(2x^4 - 3)$ (3 puntos)

EJERCICIO 3

ii)

Calcule la siguiente integral: $\int (\operatorname{sen} 2x + e^{x/5})\, dx$ (3 puntos)

iii)

Calcule la siguiente integral: $\int_1^2 \dfrac{x}{2x^2+1}\, dx$ (4 puntos)

Dada la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$, responda a las siguientes cuestiones:

i) Determine el valor de los parámetros $a$ y $b$ de forma que la función tenga un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 1$ y la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 0$ tenga pendiente $m = -2$.

[4 puntos]

Dada la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1$, responda a las siguientes cuestiones:

ii) Tomando los valores $a = -2$ y $b = -4$, determine los extremos relativos, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de la función $f(x)$.

[6 puntos]

Se considera que el $4\%$ de los deportistas federados consumen algún tipo de sustancia no permitida para mejorar su rendimiento. Se ha diseñado una nueva prueba de detección con dos posibles resultados: positivo y negativo. La prueba identifica correctamente el consumo de estas sustancias el $92\%$ de los casos. Sin embargo, si un deportista no consume estas sustancias, la prueba da positivo en el $10\%$ de los casos. Se selecciona un deportista al azar. Calcule (use 4 decimales):

i)

La probabilidad de que obtenga un resultado positivo en la prueba.

[3 puntos]

ii)

La probabilidad de que sea consumidor y la prueba tenga resultado negativo.

[3 puntos]

iii)

La probabilidad de que no sea consumidor sabiendo que la prueba ha dado resultado negativo.

[4 puntos]

EJERCICIO 6:

En una encuesta realizada a 300 jóvenes navarros entre los 18 y los 30 años, 180 contestaron que utilizaban habitualmente una determinada red social.

i)

Calcule un intervalo de confianza para la proporción de jóvenes que no utilizan dicha red social, con un nivel de confianza del 96%.

(5 puntos)

ii)

Con los datos de esa muestra se ha calculado el siguiente intervalo de confianza para la proporción de jóvenes que usan habitualmente la red social: $[0.544563, 0.655437]$. Determine el nivel de confianza de este intervalo, justificando su respuesta.

(5 puntos)

(Escriba las fórmulas necesarias y justifique las respuestas)

Tabla de la distribución normal estándar $Z \sim N(0,1)$