Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Castilla y León 2026 · Extraordinaria

APARTADO 1 (Bloques A+C)

1. En una industria alimentaria se planifica la supervisión que se va a realizar a los lotes producidos el próximo mes. Se han establecido dos protocolos de revisión, la revisión normal y la exhaustiva. Los recursos humanos y materiales de esa supervisión limitan el número de lotes que se pueden revisar.

Responder a uno de los siguientes problemas (1.1, 1.2):

1.1 Se sabe que una revisión exhaustiva de un lote consume 6 horas del departamento de envasado y 2 horas en el de etiquetado, mientras que una revisión normal de un lote consume 3 horas del departamento de envasado y 1.5 horas en el de etiquetado. En esta planificación de la supervisión se fija que, como mínimo, 5 revisiones deben ser exhaustivas y, al menos la mitad, con el protocolo normal. Se disponen de un máximo de 180 horas en el departamento de envasado y un máximo de 80 horas en el de etiquetado.

a)

[1.5 puntos] Determinar el sistema de restricciones y representar la región factible, utilizando técnicas de programación lineal.

b)

[1.5 puntos] Determinar, utilizando técnicas de programación lineal, cuál es el número máximo total de revisiones normales y exhaustivas que se pueden realizar con los recursos disponibles, así como el número de ambas revisiones para las que se alcanza este máximo.

APARTADO 1 (Bloques A+C)

1. En una industria alimentaria se planifica la supervisión que se va a realizar a los lotes producidos el próximo mes. Se han establecido dos protocolos de revisión, la revisión normal y la exhaustiva. Los recursos humanos y materiales de esa supervisión limitan el número de lotes que se pueden revisar.

Responder a uno de los siguientes problemas (1.1, 1.2):

1.2 En la siguiente figura se muestra sombreada la región factible de un problema de programación lineal planteado para decidir el número de revisiones normales y el número de revisiones exhaustivas.

a)

[1.5 puntos] Escribir matemáticamente el conjunto de restricciones que corresponden a este problema. Escribir una solución de la región factible y otra de fuera de la región factible.

$($

$,$

$)$

$($

$,$

$)$

b)

[1.5 puntos] Determinar, utilizando técnicas de programación lineal, y teniendo en cuenta la región factible dada en el apartado anterior, cuál es el número máximo total de revisiones normales y exhaustivas que se pueden realizar, así como el número de ambas revisiones para las que se alcanza este máximo.

APARTADO 2 (Bloque B)

2. Un centro deportivo permanece abierto las 24 horas del día. Para modelizar la afluencia de usuarios de un día determinado, se define la función $f(t)$ que indica el número aproximado de personas dentro del centro a la hora $t$, con $0 \le t \le 24$:

$$f(t) = \begin{cases} 10 + 2t^2 + a & \text{si } 0 \le t < 6 \\ 130 - (t - 12)^2 & \text{si } 6 \le t < 18 \\ 80 - \frac{1}{2}t^2 + 9t + b & \text{si } 18 \le t \le 24 \end{cases}$$

Responder a las siguientes cuestiones (2.1, 2.2):

2.1 [1.5 puntos] Determinar el valor de $a$ y $b$ para que la función anterior sea continua.

a)

b)

APARTADO 2 (Bloque B)

2. Un centro deportivo permanece abierto las 24 horas del día. Para modelizar la afluencia de usuarios de un día determinado, se define la función $f(t)$ que indica el número aproximado de personas dentro del centro a la hora $t$, con $0 \le t \le 24$:

$$f(t) = \begin{cases} 10 + 2t^2 + a & \text{si } 0 \le t < 6 \\ 130 - (t - 12)^2 & \text{si } 6 \le t < 18 \\ 80 - \frac{1}{2}t^2 + 9t + b & \text{si } 18 \le t \le 24 \end{cases}$$

Responder a las siguientes cuestiones (2.1, 2.2):

2.2 [1.5 puntos] Si $a = b = 0$, ¿en qué momento del día se encuentran 105 personas dentro del centro deportivo según esta función? ¿A qué hora del día se produce la máxima afluencia y cuántos usuarios estaban en su interior?

a)

h

b)

h

c)

usuarios

3.1. De los 1000 estudiantes matriculados en el instituto, 450 son hombres, de los cuales un 12 % son repetidores, mientras que, entre las mujeres, hay un 10 % de repetidoras.

a)

[1 punto] Escribir la información anterior en términos de sucesos y sus probabilidades asociadas. Hallar el porcentaje de estudiantes repetidores en el instituto.

%

b)

[1 punto] Si se selecciona una persona repetidora, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?

3.2. El equipo de profesores de Matemáticas Aplicadas a la Ciencias Sociales II ha calculado que el tiempo invertido por los estudiantes en hacer un examen sigue una distribución normal de media $100$ minutos y desviación típica igual a $10$ minutos.

a)

[1 punto] ¿Qué proporción de estudiantes realiza el examen en más de dos horas?

b)

[1 punto] ¿Cuánto tiempo tarda un estudiante en hacer el examen si el $88{,}1\%$ de sus compañeros tardan menos que él?

3.3. La dirección del instituto desea conocer cuál es el rendimiento medio de sus alumnos. Para ello, selecciona una muestra aleatoria de $100$ expedientes de estudiantes, obteniendo una calificación media muestral de $6{,}5$ puntos. Asumiendo que la calificación sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación igual a $1$ punto, se pide:

a)

[1 punto] ¿Entre qué valores se encuentra la calificación media $\mu$ de los estudiantes del instituto, con un nivel de confianza del $98\%$?

b)

[1 punto] Para un nivel de confianza del $99\%$, ¿qué tamaño de muestra sería necesario para que el error cometido al estimar la media poblacional $\mu$ no sea superior a los $0{,}5$ puntos?