Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Castilla y León 2025 · Extraordinaria

1. [3 puntos] Una empresa fabrica dos tipos de máquinas, A y B. Para atender toda la demanda, cada mes debe producir como mínimo 6 unidades del tipo A y como máximo 15 unidades del tipo B. El coste de fabricación es de 500 euros por cada unidad de tipo A y 300 euros por cada unidad de tipo B, sin que se puedan superar los 12000 euros mensuales en la fabricación total de ambos tipos.

Sabiendo que el beneficio por unidad vendida de tipo A es de 250 euros y por unidad vendida de tipo B es de 200 euros, determinar, utilizando técnicas de programación lineal, el número de unidades de cada tipo de máquina que se han de fabricar mensualmente para obtener el beneficio máximo de su venta. ¿A cuánto asciende ese beneficio?

2. Una planta de carburantes analiza la cantidad de gasolina, medida en miles de litros, almacenada en el nuevo depósito instalado, que viene dada por $f(t)$, donde $t$ es el tiempo (en horas):

$$f(t) = \begin{cases} \frac{3}{4}t^2 + 2 & \text{si } 0 \le t \le 2 \\[2ex] \frac{15}{t+1} & \text{si } t > 2 \end{cases}$$

2.1 [1.5 puntos] Determinar la cantidad de litros de gasolina almacenada inicialmente y al cabo de 108 minutos.

2. Una planta de carburantes analiza la cantidad de gasolina, medida en miles de litros, almacenada en el nuevo depósito instalado, que viene dada por $f(t)$, donde $t$ es el tiempo (en horas):

$$f(t) = \begin{cases} \frac{3}{4}t^2 + 2 & \text{si } 0 \le t \le 2 \\[2ex] \frac{15}{t+1} & \text{si } t > 2 \end{cases}$$

2.2 [1.5 puntos] Aplicar el concepto de límite para estudiar si la función es continua.

2. Una planta de carburantes analiza la cantidad de gasolina, medida en miles de litros, almacenada en el nuevo depósito instalado, que viene dada por $f(t)$, donde $t$ es el tiempo (en horas):

$$f(t) = \begin{cases} \frac{3}{4}t^2 + 2 & \text{si } 0 \le t \le 2 \\[2ex] \frac{15}{t+1} & \text{si } t > 2 \end{cases}$$

2.3 [1.5 puntos] Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función en el intervalo $(2, \infty)$.

3.1

a)

[1 punto] Si se elige un usuario al azar que va al campus, calcular la probabilidad de que sufra problemas de circulación.

b)

[1 punto] Sabiendo que, al ir al campus, un usuario ha tenido problemas de circulación, ¿con qué probabilidad ha circulado por la calzada?

3.2. Un estudio reciente analizó el tiempo de retraso sobre el horario previsto (en minutos) que sufrieron $100$ ciudadanos en sus desplazamientos en bicicleta o a pie por aceras hacia el campus universitario. El retraso medio observado en la muestra fue de $4{,}2$ minutos, con una desviación típica muestral de $1{,}5$ minutos.

a)

[1 punto] Calcular un intervalo de confianza del $95\,\%$ para la media del tiempo de retraso que experimentan los ciudadanos al circular hacia el campus universitario en la población.

(

,

)

b)

[1 punto] Calcular qué tamaño mínimo debería tener otra muestra de ciudadanos para que, con un nivel de confianza del $99\,\%$, el error máximo admisible sea de $0{,}12$ minutos en la estimación de la media.

3.3. Se considera que el $45\,\%$ de los ciudadanos utiliza el transporte público para desplazarse al campus. Se pregunta a $10$ ciudadanos a su llegada al campus si han utilizado el transporte público.

a)

[1 punto] Calcular la probabilidad de que exactamente 8 de ellos usen transporte público.

b)

[1 punto] Calcular la probabilidad de que más de 8 ciudadanos usen transporte público.