Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Cantabria 2023 · Ordinaria

Ejercicio 1 [2,5 PUNTOS]

En un almacén de construcción venden sacos de cemento de $25\text{ kg}$, $50\text{ kg}$ y $100\text{ kg}$. Cierto día se vendió un total de $180$ sacos por un importe de $29200\text{ €}$. Se sabe que el precio del $\text{kg}$ de cemento es de $4\text{ €}$ y que ese día se vendieron el doble de sacos de $25\text{ kg}$ que la suma de los sacos de $50\text{ kg}$ más los de $100\text{ kg}$.

A.

[1,25 PUNTOS] Plantee un sistema de ecuaciones que permita calcular cuántos sacos de cada tamaño se vendieron ese día (llamando $x$ a los sacos de $25\text{ kg}$, $y$ a los de $50\text{ kg}$ y $z$ a los de $100\text{ kg}$).

B.

[1,25 PUNTOS] Resuélvalo.

El ayuntamiento dispone de 48000 € para la puesta en marcha de huertas ecológicas en un viejo terreno municipal abandonado. Se destinará un máximo de 50 hectáreas al cultivo de hortalizas y un mínimo de 10 al de árboles frutales. Se dispone de un tanque de agua con una capacidad de 480 m³ anuales para riego. Se sabe que cada hectárea dedicada al cultivo de hortalizas necesita 8 m³ de agua anuales, cantidad que disminuye hasta los 4 m³ anuales en el caso de las hectáreas dedicadas a árboles frutales. Se sabe también que cada hectárea dedicada al cultivo de hortalizas requiere una inversión por parte del ayuntamiento de 400 €, siendo esta cantidad de 800 € para cada hectárea dedicada al cultivo de árboles frutales. Se sabe además que la producción anual de cada hectárea de hortalizas es de 450 kg y la de cada hectárea de árboles frutales es de 600 kg. El objetivo que persigue el ayuntamiento es maximizar la producción anual total.

A.

[0,75 puntos] Plantee la función objetivo y el conjunto de restricciones que describen el problema.

B.

[1 punto] Dibuje la región factible en el plano, identificando claramente sus vértices.

C.

[0,5 puntos] ¿Cuántas hectáreas se deben dedicar al cultivo de hortalizas y cuántas al de árboles frutales para maximizar la producción anual total?

D.

[0,25 puntos] ¿A cuánto asciende dicha producción?

Ejercicio 3 [2,5 PUNTOS]

A. [0,25 PUNTOS] ¿Cuáles son las asíntotas (horizontales, verticales y/u oblicuas) de la siguiente función?

$$f(x) = \frac{2x^2 - 1}{x - 1}$$

Ejercicio 3 [2,5 PUNTOS]

B. [1,25 PUNTOS] Dada la siguiente función definida a trozos:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(x)}{x-1} & \text{si } 0.5 \le x < 1 \\ ax^2 + b & \text{si } 1 \le x \le 2 \\ e^x + 1 & \text{si } 2 < x \le 2.5 \end{cases}$$

Determine los parámetros $a$ y $b$ para que $f$ sea continua en el intervalo $[0.5, 2.5]$.

A. Un hospital ha determinado que el número de pacientes en urgencias viene dado por $P(t)$ con $P'(t) = t^2 - 40t + 231$. ¿En qué momento hay menos pacientes y cuántos hay?

B. En una panadería el coste es $2€$, el precio de venta $x$, y $P(x) = x(122-x)$ con gastos fijos de $500€$. ¿Cuántas hogazas producir para maximizar ganancias y a cuánto ascienden?

Ejercicio 5 [2,5 PUNTOS]

El precio de las lavadoras que se venden en una gran superficie es una variable que sigue una distribución normal de desviación típica $235\text{ €}$. Para una muestra de $50$ lavadoras, escogidas al azar, se obtiene un precio medio de $405\text{ €}$.

A.

[1,25 PUNTOS] Obtenga el intervalo de confianza del $95\,\%$ para el precio medio de una lavadora.

$($

$,$

$)$

B.

[1,25 PUNTOS] ¿Cuál es el número mínimo de lavadoras que habría que considerar para que el error cometido al estimar el precio medio por lavadora con un nivel de confianza del $97\,\%$ fuese de $50\text{ €}$?

Tabla de la distribución normal estándar:

Se tiene una urna con 5 bolas blancas, 3 negras y 2 rojas. Se extraen al azar dos bolas de forma consecutiva y sin reemplazamiento:

A. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean rojas?

B. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color?

C. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las dos bolas extraídas sea negra?

D. Si la segunda bola que se extrae es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la primera haya sido blanca?