Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Cantabria 2021 · Ordinaria

Un museo ofrece entradas con tarifas distintas: adulto, niño y jubilado. La suma de las tarifas de adulto y jubilado es cinco veces la tarifa de niño. Además, se sabe que un grupo de 5 adultos, 3 niños y 3 jubilados, ha pagado 222 €; y otro grupo de 3 adultos, 2 niños y 4 jubilados, 168 €.

A.

[1 PUNTO] Plantear el sistema de ecuaciones que permite calcular las tres tarifas ($x$: adulto, $y$: niño, $z$: jubilado).

B.

[1 PUNTO] Analizar la compatibilidad de dicho sistema.

C.

[0,25 PUNTOS] Resolverlo.

D.

[0,25 PUNTOS] El día que una familia formada por 2 adultos, 2 niños y 3 jubilados visita el museo, se ha aplicado un descuento especial de un 15 % a cada tarifa. ¿Cuánto pagan en total?

Una empresa elabora dos productos, A y B, que le proporcionan unos beneficios por kg de 5 y 7 euros respectivamente. Por cuestiones de logística, solo puede producir un máximo de 500 kg a la semana. Las horas semanales de trabajo disponibles son 3200: cada kg de A requiere 4 horas y cada kg de B, 8h. Además, solo dispone de 1500 unidades de materia prima a la semana: cada kg de A necesita 3,75 unidades de materia prima; cada kg de B, 2 unidades.

¿Cuántos kilogramos de cada producto se pueden obtener semanalmente para maximizar los beneficios? ¿A cuánto ascienden dichos beneficios?

Ejercicio 3 [2,5 PUNTOS]

Dada la función $$f(x) = \frac{3x - 15}{4x^2 + 4x - 120}$$

A.

[0,5 PUNTOS] ¿En qué puntos es discontinua?

B.

[1 PUNTO] ¿Se puede definir de nuevo la función para evitar alguna discontinuidad? Justifica la respuesta.

C.

[1 PUNTO] Calcular los dos límites laterales en $x = -6$. Interpretar gráficamente lo que ocurre en torno a dicho valor.

Ejercicio 4 [2,5 PUNTOS]

Dada la función $f(x) = \dfrac{3x^2}{(x + 4)^2}$, obtener:

A.

[0,25 PUNTOS] Su dominio y los puntos de corte con los ejes OX y OY.

B.

[0,5 PUNTOS] Las asíntotas.

C.

[0,75 PUNTOS] Los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos que existan.

D.

[0,75 PUNTOS] Los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión que existan.

E.

[0,25 PUNTOS] Finalmente, con los datos obtenidos en los apartados anteriores, dibujar su gráfica.

Ejercicio 5 [2,5 PUNTOS]

Se realiza una encuesta a un grupo de 2000 personas de diferentes edades para conocer sus hábitos de compra por Internet en el último mes. Los datos completos aparecen en la siguiente tabla:

· 18-40 años · 41-60 años · Mayores de 60 años · Total

Ha realizado alguna compra por Internet · 468 · 325 · 250 · 1043

No ha comprado ningún producto por Internet · 257 · 207 · 493 · 957

Total · 725 · 532 · 743 · 2000

Elegida una de las personas del grupo al azar,

A.

[0,75 PUNTOS] Calcular la probabilidad de que sea mayor de 60 años y haya realizado alguna compra por Internet en el último mes.

B.

[0,75 PUNTOS] Calcular la probabilidad de que su edad esté comprendida entre los 41 y 60 años.

C.

[1 PUNTO] Si sabemos que ha realizado alguna compra por Internet en el último mes, ¿cuál es la probabilidad de que su edad esté comprendida entre los 18 y 40 años?

Ejercicio 6 [2,5 PUNTOS]

El tiempo que los usuarios de una compañía de telefonía móvil deben esperar para que les atiendan en el Servicio de Atención al Cliente, sigue una distribución normal con desviación típica 2 minutos. Una muestra aleatoria de 450 personas da como resultado un tiempo medio de espera de 14 minutos.

A.

[1,25 PUNTOS] Obtener el intervalo de confianza del 93 % para el tiempo medio.

B.

[1,25 PUNTOS] ¿Cuál es el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que el error cometido al estimar la media con un nivel de confianza del 90 % sea un tercio del obtenido en el apartado anterior?