Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Asturias 2024 · Ordinaria

Pregunta 1. Sean las matrices

$$A = \begin{pmatrix} -m & m-2 \\ 2m & 2 \end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2m \end{pmatrix},\quad C = \begin{pmatrix} m & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix},\quad D = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\quad \text{y}\quad E = \begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix}.$$

a)

[1.25 puntos] Si $\frac{1}{3}(A + B \cdot C) \cdot D = E$, plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por $x$ e $y$) en función del parámetro $m$.

b)

[1.25 puntos] ¿Para qué valores de $m$ el sistema anterior tiene solución? ¿En caso de existir solución, ¿es siempre única? Encuentra, si es posible, la solución para $m = 1$.

Solución para $m = 1$:

$x =$

$y =$

Un artesano teje gorros y bufandas. Cada gorro lleva 50 metros de lana de color blanco y 40 m de color negro. Cada bufanda lleva 100 m de color blanco y 100 m de color negro. Dispone de 2200 m de lana de color blanco y 2000 m de color negro y el número de gorros debe ser, a lo sumo, el doble que el de bufandas.

a)

[1.75 puntos] ¿Cuántos gorros y bufandas puede tejer? Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. ¿Puede tejer 12 gorros y 8 bufandas?

b)

[0.75 puntos] Si vende cada gorro a 12 euros y cada bufanda a 18 euros, ¿cuántos gorros y bufandas debe tejer para maximizar los ingresos? ¿Cuáles serían los ingresos en ese caso?

Pregunta 3. Tras ingerir cierta cantidad de alcohol en ayunas, el nivel de etanol en sangre (medido en mg/dl) de una persona se ajusta aproximadamente, durante las 5 horas siguientes a la ingesta, a la función:

$$f(x) = \begin{cases} -60x^2 + 160x & \text{si } 0 \le x \le 2 \\[8pt] \dfrac{10}{3} (x^2 - 14x + 48) & \text{si } 2 < x \le 5 \end{cases}$$

donde $x$ representa el tiempo (en horas) transcurrido desde la ingesta.

a)

[1.75 puntos] Estudia y representa gráficamente la función $f$ entre las 0 y las 5 horas.

b)

[0.75 puntos] Si la persona es un conductor novel y el límite de alcohol en sangre permitido a un conductor novel es de $30\text{ mg/dl}$, ¿podría esta persona conducir a las 3 horas de la ingesta? ¿Y a las 5 horas?, ¿cuál sería el nivel de etanol en sangre en ese momento?

Pregunta 4. Dada la función $f(x) = x^3 - 2x^2 - 3x$, se pide:

a)

Encontrar la primitiva $F$ de $f$ verificando que $F(2) = 0$.

b)

Estudiar y representar gráficamente la función $f$ en todo su dominio. Calcular el área limitada por la curva y el eje $X$ entre $x = -2$ y $x = 1$.

Pregunta 5. Una empresa comercializa cromos de unos dibujos animados. El $60\%$ de los cromos son de personajes del «Reino Rosa» y el resto de personajes del «Reino Gris». Por otro lado, uno de cada tres cromos del «Reino Rosa» y uno de cada cinco del «Reino Gris» tienen el borde dorado.

a)

[1.25 puntos] Elegido un cromo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga el borde dorado?

b)

[1.25 puntos] Si se elige al azar un cromo entre los que no tienen el borde dorado, ¿cuál es la probabilidad de que sea del «Reino Rosa»?

Pregunta 6. Los estudiantes extranjeros que durante el curso viven en residencia universitaria suponen el 10 % de todos los estudiantes de una universidad. El 80 % de todos los estudiantes no son extranjeros y de ellos, el 75 % no viven en residencia universitaria durante el curso.

a)

[1.25 puntos] Calcula la probabilidad de que un estudiante elegido al azar ni sea extranjero, ni viva en residencia universitaria durante el curso.

b)

[1.25 puntos] Elegido al azar un estudiante entre los extranjeros, ¿cuál es la probabilidad de que no viva en residencia universitaria durante el curso?

Pregunta 7. Una fábrica hace un control de calidad para determinar la proporción de tabletas de chocolate que realmente contienen la cantidad de leche que indican en el envoltorio.*

a)

[1 punto] ¿Cuál debería ser el tamaño muestral mínimo para determinar la verdadera proporción de tabletas con el contenido en leche indicado a partir de la proporción muestral con un error de estimación máximo de 0.05 y un nivel de confianza del 95 %?

b)

[1.5 puntos] Finalmente, se analizaron 300 tabletas y, de ellas, 264 tenían el contenido en leche indicado. Construye, a partir de estos datos, un intervalo de confianza para la verdadera proporción de tabletas con el contenido en leche indicado, con un nivel de confianza del 90 %.

* Algunos valores de la función de distribución de la normal de media 0 y desviación típica 1: F(1.28) = 0.90, F(1.64) = 0.95, F(1.96) = 0.975, F(2.33) = 0.99 y F(2.58) = 0.995.

Pregunta 8. El nivel de cierta hormona en sangre sigue distribución normal con desviación típica $1.2\text{ UI/l}$. Para una muestra de $200$ personas se obtuvo que el nivel medio de esa hormona en sangre fue de $8.7\text{ UI/l}$. *

* Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media $0$ y desviación típica $1$:

$F(1.28) = 0.90$, $F(1.64) = 0.95$, $F(1.96) = 0.975$, $F(2.33) = 0.99$ y $F(2.58) = 0.995$.

a)

[1.5 puntos] Determina, a partir de esa muestra, un intervalo de confianza para el nivel medio poblacional de la hormona en sangre al nivel de confianza del $90\%$.

b)

[0.5 puntos] En el intervalo anterior, ¿cuánto vale el error de estimación?

c)

[0.5 puntos] Uno de los dos intervalos siguientes: $(8.5681, 8.8319)$ y $(8.5514, 8.8486)$ se obtuvo a partir de la misma muestra al $88\%$ de confianza. Razona adecuadamente cuál de los dos corresponde al nivel de confianza del $88\%$.

A

(8.5681, 8.8319)

B

(8.5514, 8.8486)