Examen de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II PAU Asturias 2023 · Ordinaria

Pregunta 1. Sean las matrices $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -m & -1 \\ 1 + 4m & 4 + m \end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ y $D = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$.

a)

[1 punto] Si $\frac{1}{2} \cdot A^2 \cdot B \cdot C = D$, plantea un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas (representadas por $x$ e $y$) en función del parámetro $m$.

b)

[1.5 puntos] ¿Para qué valores de $m$ el sistema anterior tiene solución? En caso de existir solución, ¿es siempre única? Resuelve el sistema para $m = -2$.

Pregunta 2. Los medios utilizados para realizar la publicidad...

a)

[1.75 puntos] ¿Cuántos anuncios de tipo cada se pueden hacer? Plantea el problema y representa gráficamente...

b)

[0.75 puntos] Si el objetivo es maximizar la audiencia total, ¿cuánto es?

Pregunta 3. La producción diaria de una determinada empresa...

a)

[0.75 puntos] Determina las constantes a y b...

b)

[1.75 puntos] Considerando los valores... estudia y representa...

Pregunta 4. Dada la función $f(x) = -x^2 + 4x$, se pide:

a)

[0.5 puntos] Encontrar la primitiva F de f verificando que F(1) = 2.

b)

[2 puntos] Estudiar y representar gráficamente la función f... Calcular el área...

Según cierto estudio, se sabe que el 80 % de los hogares de un determinado país tiene contratado el acceso a internet y que el 40 % tiene contratado algún canal de televisión de pago. Además se sabe que el 25 % de los hogares disponen de ambos servicios. Si se selecciona un hogar al azar:

a)

[1.25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que tenga contratada televisión de pago, pero no internet?

b)

[1.25 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga contratado ninguno de los dos servicios?

En una determinada población, el 5 % de los individuos han contraído un virus. Para estudiar dicha enfermedad se somete a los individuos a un cribado consistente en una prueba que determina que tiene virus el 90 % de las veces si el individuo está infectado y determina que no tiene virus el 95 % de las veces si no está infectado. Se pide:

a)

[1.25 puntos] Si la prueba determina que un individuo tiene el virus, ¿cuál es la probabilidad de que realmente no lo tenga?

b)

[1.25 puntos] Si la prueba determina que un individuo no tiene el virus, ¿cuál es la probabilidad de que realmente lo tenga?

Pregunta 7. Se supone que la duración de un aparato electrónico, en años, sigue aproximadamente una distribución normal con desviación típica 0.5 años.*

a)

[1.5 puntos] Para estimar la duración media, se considera una muestra aleatoria de 150 aparatos, los cuales han durado, en media, 1.8 años. Construye, a partir de estos datos, un intervalo de confianza para la duración media, al 95 % de confianza.

b)

[1 punto] ¿Cuál es el tamaño muestral mínimo necesario para estimar la verdadera duración media a partir de la media muestral con un error de estimación máximo de 0.2 años y un nivel de confianza del 99 %?

* Algunos valores de la función de distribución de la normal de media 0 y desviación típica 1: F(1.28) = 0.90, F(1.64) = 0.95, F(1.96) = 0.975, F(2.33) = 0.99 y F(2.58) = 0.995.

Pregunta 8. Una empresa hace un estudio de mercado antes de lanzar un nuevo producto. Para ello selecciona al azar a 200 personas a las que proporciona su producto durante 4 semanas para que indiquen al final de ese período si les ha gustado o no. A 150 de ellas les ha gustado y al resto no.*

* Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(1.28) = 0.90$, $F(1.64) = 0.95$, $F(1.96) = 0.975$, $F(2.33) = 0.99$ y $F(2.58) = 0.995$.

a)

[1.5 puntos] Construye, a partir de estos datos, un intervalo de confianza para la proporción poblacional de personas a las que les gustará el producto, al $99\%$ de confianza.

Intervalo de confianza: (

,

)

b)

[1 punto] En el intervalo anterior, ¿cuánto vale el error de estimación? ¿Qué le ocurriría al error de estimación si, manteniendo el mismo nivel de confianza y la misma proporción muestral, hubiese disminuido el tamaño de la muestra?