Ejercicio 5 · Matemáticas II PAU Andalucía Ordinaria Reserva 2021

Tema: Sentido numérico · Del examen Ordinaria Reserva (2021)

Enunciado

Considera el sistema de ecuaciones

$\begin{cases}

x + y + 2z = 0 \\

3x - y - 2z = 0 \\

-x + 2y + mz = 0

\end{cases}$

a)

Calcula mm para que el sistema tenga infinitas soluciones y hállalas.

[1,5 puntos]

b)

Para m=2m = 2, ¿existe alguna solución tal que z=1z = 1? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

[1 punto]

Enunciado: Ejercicio 5 · Matemáticas II PAU Andalucía Ordinaria Reserva 2021

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Calcula mm para que el sistema tenga infinitas soluciones

Solución: m=4m = 4

a) Hállalas (soluciones del sistema)

Solución: x=0,y=−2λ,z=λx = 0, y = -2\lambda, z = \lambda / (0,−2λ,λ)(0, -2\lambda, \lambda) / x=0,y=−2t,z=tx = 0, y = -2t, z = t

b) Para m=2m = 2, ¿existe alguna solución tal que z=1z = 1? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta.

Solución: No, no existe ninguna solución con z=1z = 1. Justificación: para m=2m = 2, det⁡(A)=16−4(2)=8≠0\det(A) = 16 - 4(2) = 8 \neq 0, por lo que el sistema es compatible determinado y su única solución es la trivial (0,0,0)(0,0,0), en la cual z=0z = 0.

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