Examen de Fundamentos de Matemáticas UOC 2020 · final - Enero 2020

Pregunta 1 (1,25 puntos). Sistema compatible determinado según parámetro

Considere el siguiente sistema lineal dependiente del parámetro real $m$:

$$\begin{cases} 2x + y = m \\ mx + y = m + 1 \end{cases}$$

Determine para qué valores de $m$ el sistema resulta ser compatible determinado.

Pregunta 2 (1,25 puntos). Término general de sucesión recurrente

Halle la fórmula del término general de la sucesión recurrente definida por:

$$a_n = \frac{7a_{n-1} - 6a_{n-2}}{2}$$

sabiendo que las condiciones iniciales son $a_0 = 1$ y $a_1 = 3$.

Pregunta 3 (1,25 puntos). Punto de corte entre dos rectas

Calcule el valor que debe tomar el parámetro $a$ para que las rectas $y = 3x - 2$ e $y = ax + 5$ intersequen en el punto cuya abscisa es $x = 1$.

Pregunta 4 (1,25 puntos). Cálculo de límite en el infinito

Calcule el valor del siguiente límite:$$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x + \sqrt{x^2 + x}}$$

Ejercicio 1 (2,5 puntos). Diagonalización de una matriz 3×3

Dada la matriz de orden 3:$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3 \\ 3 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$Responda a los siguientes apartados:

a.

Determine su polinomio característico. (0,50 puntos)

b.

Obtenga todos los valores propios con sus respectivas multiplicidades. (0,50 puntos)

c.

Halle los subespacios de vectores propios asociados. (1 punto)

d.

Justifique de forma razonada si la matriz $A$ es diagonalizable. (0,50 puntos)

¿Es la matriz $A$ diagonalizable?

Sí

No

La función que describe los beneficios obtenidos por una empresa según el nivel de producción $x > 0$ de un producto viene dada por:

$$B(x) = 52x - x^2 - 26 \quad \text{(unidades monetarias)}$$

Ejercicio 2 - Optimización (1,5 puntos)

Se pide responder a los siguientes apartados:

a.

Hallar la cantidad $x$ producida que hace máximo el beneficio. (1 punto)

b.

Determinar el importe del beneficio máximo alcanzable. (0,5 puntos)

La función que describe los beneficios obtenidos por una empresa según el nivel de producción $x > 0$ de un producto viene dada por:

$$B(x) = 52x - x^2 - 26 \quad \text{(unidades monetarias)}$$

Ejercicio 2 - Integral (1 punto)

Sabiendo que el beneficio medio entre dos niveles $x = a$ y $x = b$ se calcula mediante la fórmula $\frac{1}{b-a} \int_a^b B(x)\,dx$, calcule el valor medio del beneficio cuando el nivel de producción varía desde $x = 15$ hasta $x = 45$ unidades. (1 punto)