Examen de Fundamentos de Matemáticas UOC 2020 · final - Enero 2020

Pregunta 1 [1,25 puntos]. Convergencia de serie geométrica con parámetro

Determine para qué valores del parámetro $k > 0$ resulta convergente la serie geométrica:$$\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{2k^2 + 1}{k + 2} \right)^n$$

Pregunta 2 [1,25 puntos]. Función inversa de función racional

Halle la expresión de la función inversa $f^{-1}(x)$ de la siguiente función homográfica:$$f(x) = \frac{2x - 1}{x - 3}$$

Pregunta 3 (1,25 puntos). Primitiva por partes

Calcule la siguiente integral indefinida:

$$\int 2x e^x \, dx$$

Pregunta 4 [1,25 puntos]. Coordenadas de un vector en una base dada

Un vector $v$ presenta coordenadas $(2, 9)$ en la base canónica de $\mathbb{R}^2$. Determine sus coordenadas con respecto a la base:$$B = \{(1, 2), (3, 1)\}$$

$a$:

$b$:

La función de demanda de un determinado bien responde a la expresión $Q(p) = \frac{15-p}{p+1}$, donde $p$ representa el precio unitario en euros y $Q(p)$ la cantidad demandada en unidades.

a.

Sabiendo que la elasticidad-precio de la demanda se define como $\varepsilon(p) = \frac{p \cdot Q'(p)}{Q(p)}$, determine su valor en el punto $p = 5$. [0,75 puntos]

La función de demanda de un determinado bien responde a la expresión $Q(p) = \frac{15-p}{p+1}$, donde $p$ representa el precio unitario en euros y $Q(p)$ la cantidad demandada en unidades.

b.

¿Dentro de qué intervalo de precios $p$ se garantiza que ni el precio ni la cantidad demandada tomen valores negativos? [0,25 puntos]

c.

Considerando el intervalo de precios acotado en el apartado b), y sabiendo que los ingresos se modelizan mediante $I(p) = p \cdot Q(p)$, ¿qué precio maximiza los ingresos? [0,75 puntos]

d.

Razone si el valor óptimo hallado en el apartado anterior constituye un máximo global. ¿Presenta la función ingresos algún mínimo global en dicho dominio? Justifique las respuestas. [0,75 puntos]

Una compañía reparte su plantilla laboral —distribuida entre directivos ($x$), ingenieros ($y$) y mecánicos ($z$)— en tres sedes de acuerdo al siguiente sistema de ecuaciones:

$$\begin{cases} x + 3y + 2z = 130 \\ 4x + 2y + 3z = 170 \\ ax + 5y + 5z = b \end{cases}$$

donde $a$ y $b$ son dos parámetros reales.

a.

Si $a = 3$ y $b = 260$, calcule el número de directivos, ingenieros y mecánicos que integran la plantilla. [1 punto]

b.

Si $a = 5$, determine el valor que debe tomar $b$ para que el sistema sea compatible indeterminado. [1 punto]

c.

Para el caso $a = 5$ con el valor de $b$ hallado en el apartado anterior, exprese el conjunto general de soluciones del sistema. [0,5 puntos]