Ejercicio 1 · Fundamentos de Matemáticas UOC 2020

a. Determine su polinomio característico.

Solución: $p(\lambda) = -\lambda^3 + 3\lambda + 2$ / $(2 - \lambda)(1 + \lambda)^2$

b. Valor propio menor $\lambda_1$

Solución: -1

b. Multiplicidad algebraica $m_a(\lambda_1)$

Solución: 2

b. Valor propio mayor $\lambda_2$

Solución: 2

b. Multiplicidad algebraica $m_a(\lambda_2)$

Solución: 1

c. Halle los subespacios de vectores propios asociados.

Solución: Para $\lambda_1 = -1$: $V_{-1} = \operatorname{span}\{(0,1,0), (-1,0,1)\}$. Para $\lambda_2 = 2$: $V_2 = \operatorname{span}\{(1,1,0)\}$

d. ¿Es la matriz $A$ diagonalizable?

Solución: Sí

d. Justifique de forma razonada si la matriz $A$ es diagonalizable.

Solución: La multiplicidad geométrica coincide con la multiplicidad algebraica para cada valor propio: $m_g(-1) = m_a(-1) = 2$ y $m_g(2) = m_a(2) = 1$. Existen 3 vectores propios linealmente independientes que forman base de $\mathbb{R}^3$.