Examen de Matemáticas I UB 2020 · final gener 2020

Exercici 1 (10 punts). Qüestions tipus test

Cada resposta correcta suma 2 punts, les respostes incorrectes resten 1 punt i les preguntes no contestades no computen (nota mínima de l'exercici: 0 punts). Trieu l'opció correcta per a cadascuna de les següents qüestions:

a. El valor de $(1 + i)^5$ és:

)

Exercici 1 (10 punts). Qüestions tipus test

Cada resposta correcta suma 2 punts, les respostes incorrectes resten 1 punt i les preguntes no contestades no computen (nota mínima de l'exercici: 0 punts). Trieu l'opció correcta per a cadascuna de les següents qüestions:

b. El polinomi característic d'una matriu quadrada d'ordre 5 amb coeficients reals té com a arrels 1, 4 i 6, sent 1 i 6 de multiplicitat 1. Llavors:

)

Exercici 1 (10 punts). Qüestions tipus test

Cada resposta correcta suma 2 punts, les respostes incorrectes resten 1 punt i les preguntes no contestades no computen (nota mínima de l'exercici: 0 punts). Trieu l'opció correcta per a cadascuna de les següents qüestions:

c. La solució general de l'equació diferencial $xy' = y^2$ satisfà en tot moment la relació:

)

Exercici 1 (10 punts). Qüestions tipus test

Cada resposta correcta suma 2 punts, les respostes incorrectes resten 1 punt i les preguntes no contestades no computen (nota mínima de l'exercici: 0 punts). Trieu l'opció correcta per a cadascuna de les següents qüestions:

d.

La derivada direccional en el punt $p = (1, 0, 0)$ de la funció $f(x, y, z) = e^{x + y z}$ segons la direcció del vector $v = (2, 0, 1)$ val:

e.

Considerem dues funcions diferenciables $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ i $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$. Sigui $p = f(0)$. Suposem conegudes les respectives matrius jacobianes:

$$(Df)(0) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad (Dg)(p) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Anomenem $(g \circ f)_x$ a la primera component de la funció composta $g \circ f$. Aleshores, la derivada parcial $\frac{\partial (g \circ f)_x}{\partial y}(0)$ és igual a:

Exercici 2 (10 punts). Diagonalització i sistema d'equacions diferencials

a)

Diagonalitzeu la matriu següent:

$$A = \begin{pmatrix} -5 & -4 & -8 \\ 2 & 1 & 4 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$

És a dir, determineu una matriu invertible $C$ i una matriu diagonal $D$ tals que $C^{-1}AC = D$.

b)

Empreu el resultat de l'apartat anterior per trobar la solució general del sistema d'equacions diferencials lineals no homogeni:

$\begin{cases}

x' = -5x - 4y - 8z + t, \\

y' = 2x + y + 4z + 1, \\

z' = 2x + 2y + 3z - t - 1.

\end{cases}$

Exercici 3 (10 punts). Extrems absoluts en una bola tancada

Considereu la funció $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ definida per:

$$f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 2x + 2y - 2z + 3,$$

i el conjunt corresponent a la bola tancada de radi 3:

$$B = \{(x, y, z) \in \mathbb{R}^3: x^2 + y^2 + z^2 \leq 9\}.$$

Podem assegurar que $f$ assoleix màxim i mínim absoluts en $B$? En cas afirmatiu, trobeu els punts on s'assoleixen i els valors extrems corresponents.

Exercici 4 (10 punts). Treball, integral doble i teorema de Green

a. Calculeu el treball realitzat pel camp de forces definit per:

$$F(x,y,z) = \left(x + y, x + \frac{1}{y} + \sin z, y\cos z + z^2\right)$$

al llarg de la trajectòria donada per la corba parametritzada:

$$\alpha(t) = (t\sin t, e^{\cos t}, \sin t\cos t), \quad t \in [0, \pi/2]$$

Exercici 4 (10 punts). Treball, integral doble i teorema de Green

b.

Determineu el volum del sòlid que té per base la regió plana circular de centre a l'origen i radi 2 situada al segon quadrant ($x \le 0$ i $y \ge 0$), fitat inferiorment pel pla $z = 0$ i superiorment per la superfície $z = -xy^2$.

Exercici 4 (10 punts). Treball, integral doble i teorema de Green

c.

Utilitzeu el Teorema de Green per avaluar la integral de línia del camp vectorial:$$F(x,y) = (\sin x + xy^3, e^y + x^2y^2)$$al llarg de la frontera de la porció de disc descrita a l'apartat anterior, orientada en sentit antihorari.