Examen de Matemáticas I UB 2020 · Primer control octubre 2020

Instruccions de la prova:

Data: 27 d'octubre de 2020.

La resolució ha de ser individual i cal justificar detalladament el procediment seguit per resoldre cada apartat (no seran considerades vàlides aquelles respostes que només continguin el resultat final).

Podeu utilitzar la següent taula de valors trigonomètrics de referència si és necessari:

$\theta$ · $\sin(\theta)$ · $\cos(\theta)$ · $\tan(\theta)$

$\pi/6$ · $1/2$ · $\sqrt{3}/2$ · $\sqrt{3}/3$

$\pi/3$ · $\sqrt{3}/2$ · $1/2$ · $\sqrt{3}$

$2\pi/3$ · $\sqrt{3}/2$ · $-1/2$ · $-\sqrt{3}$

$-\pi/6$ · $-1/2$ · $\sqrt{3}/2$ · $-\sqrt{3}/3$

$-\pi/3$ · $-\sqrt{3}/2$ · $1/2$ · $-\sqrt{3}$

$-2\pi/3$ · $-\sqrt{3}/2$ · $-1/2$ · $\sqrt{3}$

Exercici 1. Nombres complexos

Responeu a les següents qüestions:

a.

[1,5 punts] Expresseu el nombre complex $z = -1 + i\sqrt{3}$ en la seva forma polar. Tot seguit, calculeu $z^6$ i $\sqrt[4]{z}$ donant els resultats finals en forma cartesiana.

b.

[1 punt] Proposeu un exemple de nombre complex que tingui mòdul igual a $2$ i pel qual tant la part real com la part imaginària siguin estrictament negatives. Escriviu la solució en forma cartesiana $a + bi$.

Instruccions de la prova:

Data: 27 d'octubre de 2020.

La resolució ha de ser individual i cal justificar detalladament el procediment seguit per resoldre cada apartat (no seran considerades vàlides aquelles respostes que només continguin el resultat final).

Podeu utilitzar la següent taula de valors trigonomètrics de referència si és necessari:

$\theta$ · $\sin(\theta)$ · $\cos(\theta)$ · $\tan(\theta)$

$\pi/6$ · $1/2$ · $\sqrt{3}/2$ · $\sqrt{3}/3$

$\pi/3$ · $\sqrt{3}/2$ · $1/2$ · $\sqrt{3}$

$2\pi/3$ · $\sqrt{3}/2$ · $-1/2$ · $-\sqrt{3}$

$-\pi/6$ · $-1/2$ · $\sqrt{3}/2$ · $-\sqrt{3}/3$

$-\pi/3$ · $-\sqrt{3}/2$ · $1/2$ · $-\sqrt{3}$

$-2\pi/3$ · $-\sqrt{3}/2$ · $-1/2$ · $\sqrt{3}$

Exercici 1

c.

[1 punt] Determineu una funció $f(x)$ tal que la seva primera derivada sigui igual a $\frac{x^2}{2}\cos(x^3 - 1)$.

Exercici 2 (6,5 punts). Diagonalització de matrius

Considereu la matriu real següent:

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$

a)

(1 punt) Sense realitzar cap mena de càlcul operatiu, determineu de forma justificada si la matriu $A$ diagonalitza o no.

b)

(2 punts) Calculeu el polinomi característic d'$A$ i comproveu explícitament que els seus valors propis són $0$, $3$ i $3$.

c)

(2 punts) Trobeu una base de $\mathbb{R}^3$ formada exclusivament per vectors propis de la matriu $A$.

d)

(1,5 punts) Trobeu una matriu invertible $C$ que compleixi la relació:

$$C^{-1} \cdot A \cdot C = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$