Exercici 2 · Matemáticas I UB 2020

Tema: Sistemes d'equacions diferencials lineals · Del examen Examen final gener 2020 (2020)

Enunciado

Exercici 2 (10 punts). Diagonalització i sistema d'equacions diferencials

a)

Diagonalitzeu la matriu següent:

A=(−5−4−8214223)A = \begin{pmatrix} -5 & -4 & -8 \\ 2 & 1 & 4 \\ 2 & 2 & 3 \end{pmatrix}

És a dir, determineu una matriu invertible CC i una matriu diagonal DD tals que C−1AC=DC^{-1}AC = D.

b)

Empreu el resultat de l'apartat anterior per trobar la solució general del sistema d'equacions diferencials lineals no homogeni:

$\begin{cases}

x' = -5x - 4y - 8z + t, \\

y' = 2x + y + 4z + 1, \\

z' = 2x + 2y + 3z - t - 1.

\end{cases}$

Enunciado: Exercici 2 · Matemáticas I UB 2020

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

Valors propis de la matriu A

Solución: 1, -1 / \lambda = 1, \lambda = -1

a) Matriu diagonal D i matriu invertible C

Solución: D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} -2 & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}

b) Solució general del sistema d'equacions diferencials lineals no homogeni

Solución: x(t) = -2c_1 e^t - (c_2 + 2c_3)e^{-t} - 3t - 5, y(t) = c_1 e^t + c_2 e^{-t} + 2t + 3, z(t) = c_1 e^t + c_3 e^{-t} + t + 2

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