Examen de Matrices y Vectores UB 2021 · final de Matrius i Vectors (febrer 2021)

Es consideren els següents subespais vectorials de l'espai $\mathbb{R}^4$:

$F = \langle(1, 2, -1, 1), (1, 1, 3, 0)\rangle$

$G = \langle(1, 3, 0, 2), (1, 2, 4, 1)\rangle$

$H$ definit mitjançant les equacions implícites:

$$\begin{cases} 2x + y + z = 0 \\ y + z + t = 0 \end{cases}$$

Trobeu una base i determineu la dimensió de cadascun dels següents subespais:

a)

Subespai $(F \cap G) + H$:

b)

Subespai $(F \cap H) + G$:

Exercici 2. Determinant i inversa d'una matriu antisimètrica paramètrica

Es considera la matriu quadrada d'ordre $n \times n$ donada per:$$A_n(a):= \begin{pmatrix} 0 & a & a & \dots & a & a \\ -a & 0 & a & \dots & a & a \\ -a & -a & 0 & \dots & a & a \\ \vdots & \vdots & & \ddots & 0 & a \\ -a & -a & \dots & & -a & 0 \end{pmatrix}$$

a)

(6 punts) Trobeu l'expressió del determinant de $A_n(a)$ en funció dels paràmetres $n$ i $a$.

b)

(4 punts) Demostreu que la matriu $A_4(1)$ és invertible i calculeu la seva matriu inversa.

Exercici 3. Propietats de dimensió i suma directa de tres subespais

Siguin $F$, $G$ i $H$ subespais vectorials d'un espai vectorial $E$ de dimensió finita.

a)

[5 punts] Demostreu la desigualtat: $$\dim(F + G + H) \leq \dim F + \dim G + \dim H$$

b)

[5 punts] Proveu que si es compleix la igualtat: $$\dim(F + G + H) = \dim F + \dim G + \dim H$$ aleshores necessàriament es verifiquen les tres identitats següents: $$(F + G) \cap H = \{\vec{0}\}, \quad (G + H) \cap F = \{\vec{0}\}, \quad (H + F) \cap G = \{\vec{0}\}$$

Teoria (10 punts). Concepte de suma directa i condicions equivalents

Definiu el subespai suma de dos subespais vectorials $F$ i $G$ d'un espai vectorial $E$. Quan es diu que $F$ i $G$ estan en suma directa? Enuncieu tres condicions equivalents a que $F$ i $G$ estiguin en suma directa i escriviu la demostració detallada de la seva equivalència.