Exercici 3 · Matrices y Vectores UB 2021

a) (5 punts) Demostreu la desigualtat: dim(F + G + H) <= dim F + dim G + dim H

Solución: Aplicant la fórmula de Grassmann a $(F + G)$ i $H$: $$\dim((F + G) + H) = \dim(F + G) + \dim H - \dim((F + G) \cap H)$$ Com que la dimensió d'un subespai vectorial és sempre no negativa, $\dim((F + G) \cap H) \geq 0$, tenim: $$\dim(F + G + H) \leq \dim(F + G) + \dim H$$ Aplicant de nou la fórmula de Grassmann a $\dim(F + G)$: $$\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G) \leq \dim F + \dim G$$ Substituint aquesta darrera desigualtat en la primera: $$\dim(F + G + H) \leq \dim F + \dim G + \dim H$$

b) (5 punts) Proveu que si es compleix la igualtat: dim(F + G + H) = dim F + dim G + dim H aleshores necessàriament es verifiquen les tres identitats següents: (F + G) ∩ H = {0}, (G + H) ∩ F = {0}, (H + F) ∩ G = {0}

Solución: Suposem que es dóna la igualtat $\dim(F + G + H) = \dim F + \dim G + \dim H$. De la identitat exacta de Grassmann: $$\dim(F + G + H) = \dim(F + G) + \dim H - \dim((F + G) \cap H)$$ i sabent que $\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G)$, podem expressar: $$\dim(F + G + H) = \dim F + \dim G + \dim H - \dim(F \cap G) - \dim((F + G) \cap H)$$ Igualant això a $\dim F + \dim G + \dim H$, obtenim: $$\dim(F \cap G) + \dim((F + G) \cap H) = 0$$ Com que ambdues dimensions són nombres enters no negatius, s'ha de complir necessàriament que: $$\dim((F + G) \cap H) = 0 \implies (F + G) \cap H = \{\vec{0}\}$$ Com que l'operació de suma de subespais és commutativa i associativa, la condició $\dim(F + G + H) = \dim F + \dim G + \dim H$ és totalment simètrica respecte a qualsevol permutació dels tres subespais $F, G, H$. Aplicant el mateix raonament associant com $(G + H) + F$ i $(H + F) + G$, deduïm immediatament: $$(G + H) \cap F = \{\vec{0}\} \quad \text{i} \quad (H + F) \cap G = \{\vec{0}\}$$