Exercici 4 · Matrices y Vectores UB 2021

Definiu el subespai suma de dos subespais vectorials F i G d'un espai vectorial E. Quan es diu que F i G estan en suma directa? Enuncieu tres condicions equivalents a que F i G estiguin en suma directa i escriviu la demostració detallada de la seva equivalència.

Solución: Definició del subespai suma: Donats dos subespais $F, G \le E$, el subespai suma $F + G$ es defineix com el conjunt de tots els vectors que es poden expressar com a suma d'un vector de $F$ i un de $G$: $$F + G = \{u + v \in E : u \in F, v \in G\}$$ Definició de suma directa: Es diu que la suma $F + G$ és directa (i s'escriu $F \oplus G$) si cada vector de $F + G$ s'expressa de forma única com a suma d'un vector de $F$ i un de $G$. Teorema de condicions equivalents: Sigui $E$ un espai vectorial de dimensió finita i siguin $F, G \le E$. Les següents afirmacions són equivalents: 1. La suma $F + G$ és directa (unicitat de descomposició). 2. $F \cap G = \{\vec{0}\}$. 3. $\dim(F + G) = \dim F + \dim G$. Demostració de les equivalències: - (1 $\implies$ 2): Suposem que la descomposició és única. Sigui $w \in F \cap G$. Aleshores el vector $w$ es pot escriure de dues maneres com a suma d'un element de $F$ i un de $G$: $$w = \underbrace{w}_{\in F} + \underbrace{\vec{0}}_{\in G} = \underbrace{\vec{0}}_{\in F} + \underbrace{w}_{\in G}$$ Per la unicitat de l'escriptura, s'ha de complir $w = \vec{0}$. Per tant, $F \cap G = \{\vec{0}\}$. - (2 $\implies$ 1): Suposem que $F \cap G = \{\vec{0}\}$. Considerem un vector $x \in F + G$ amb dues possibles descomposicions: $$x = u_1 + v_1 = u_2 + v_2, \quad \text{amb } u_1, u_2 \in F \text{ i } v_1, v_2 \in G$$ Reagrupant termes: $$u_1 - u_2 = v_2 - v_1$$ Com que $u_1 - u_2 \in F$ i $v_2 - v_1 \in G$, aquest vector pertany a la intersecció: $u_1 - u_2 \in F \cap G$. Com que $F \cap G = \{\vec{0}\}$, necessàriament $u_1 - u_2 = \vec{0} \implies u_1 = u_2$ i $v_2 - v_1 = \vec{0} \implies v_1 = v_2$. Això demostra que la descomposició és única. - (2 $\iff$ 3): Per la fórmula de Grassmann: $$\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G)$$ Per tant: $$\dim(F + G) = \dim F + \dim G \iff \dim(F \cap G) = 0 \iff F \cap G = \{\vec{0}\}$$