Examen de Álgebra Lineal UB 2016 · 1r Semestre - Gener 2016

Sigui el subconjunt de l'espai vectorial $M_{2\times 3}$ definit per:

$$F = \left\{ A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} \in M_{2\times 3} \;\middle|\; a = 2b + c,\ d = -c,\ e = c - b \right\}$$

a.

Comprova que $F$ té estructura de subespai vectorial de $M_{2\times 3}$. (0,5 p)

b.

Determina una base de $F$ així com la seva dimensió. (0,5 p)

Sigui el subconjunt de l'espai vectorial $M_{2\times 3}$ definit per:

$$F = \left\{ A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} \in M_{2\times 3} \;\middle|\; a = 2b + c,\ d = -c,\ e = c - b \right\}$$

Preneu ara la següent base de $F$:

$$B_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}$$

Considerant una altra base $B_2$ de $F$ per a la qual la matriu de transició de $B_2$ a $B_1$ és:

$$C_{B_2 B_1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

Troba els elements que componen la base $B_2$. [1 p]

b)

Sabent que el vector $X$ té coordenades $X|_{B_2} = (2, 1, 1)$ respecte de $B_2$, calcula $X|_{B_1}$ mitjançant dos procediments diferents. [2 p]

$($

,

,

$)$

Exercici 2. Aplicacions lineals, composició i nucli

Considerem dues aplicacions lineals $f: M_{2\times 2} \rightarrow P_2(x)$ i $g: P_2(x) \rightarrow \mathbb{R}^2$, juntament amb la informació següent:

Base de $M_{2\times 2}$: $B = \left\{\vec{b}_1 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \vec{b}_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \vec{b}_3 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \vec{b}_4 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\right\}$

Base de $P_2(x)$: $U = \{x^2, 1, x\}$

Bases de $\mathbb{R}^2$: $V = \{(2,0), (3,1)\}$ i $W = \{(1,0), (0,1)\}$

Imatges per $f$: $f(\vec{b}_1) = 4$, $f(\vec{b}_2) = 2 + x$, $f(\vec{b}_3) = 2 - x + x^2$, $f(\vec{b}_4) = 1 + x - x^2$

Imatges per $g$: $g(1) = (1,1)$, $g(x + 1) = (1,0)$, $g(x^2) = (0,-1)$

a.

Troba la matriu associada a l'aplicació $f$ prenent la base $B$ com a origen i la base $U$ com a destí. [1 p]

b.

Determina la imatge de la matriu $\vec{m} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ mitjançant la matriu associada trobada a l'apartat anterior. No expressis el resultat final en coordenades. [0,75 p]

c.

Calcula novament la imatge de la matriu $\vec{m} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ fent ús de la linealitat de l'aplicació, sense emprar la matriu de l'apartat a). Dona el resultat sense deixar-lo en coordenades. [0,75 p]

d.

Determina la matriu associada a l'aplicació $g$ respecte de les bases $U$ en l'espai d'origen i $V$ en el de destí. [1 p]

e.

Troba la matriu associada a la composició $g \circ f$ referida a la base $B$ de sortida i la base $W$ d'arribada. [1,5 p]

Exercici 2. Aplicacions lineals, composició i nucli

Considerem dues aplicacions lineals $f: M_{2\times 2} \rightarrow P_2(x)$ i $g: P_2(x) \rightarrow \mathbb{R}^2$, juntament amb la informació següent:

Base de $M_{2\times 2}$: $B = \left\{\vec{b}_1 = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \vec{b}_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \vec{b}_3 = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \vec{b}_4 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\right\}$

Base de $P_2(x)$: $U = \{x^2, 1, x\}$

Bases de $\mathbb{R}^2$: $V = \{(2,0), (3,1)\}$ i $W = \{(1,0), (0,1)\}$

Imatges per $f$: $f(\vec{b}_1) = 4$, $f(\vec{b}_2) = 2 + x$, $f(\vec{b}_3) = 2 - x + x^2$, $f(\vec{b}_4) = 1 + x - x^2$

Imatges per $g$: $g(1) = (1,1)$, $g(x + 1) = (1,0)$, $g(x^2) = (0,-1)$

f.

Determina la dimensió i una base per al nucli de $g$ ($\ker g$), donant els vectors de la base de forma explícita com a polinomis (sense components). [1 p]