Examen de Álgebra Lineal UB 2016 · Punt de Control 2 - Curs 2016/17

Exercici 1. Diagonalització d'endomorfismes i càlcul matricial

Considera l'endomorfisme $f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3$ definit per:

$$f(x, y, z) = (2x - y + z,\ ay,\ by + z)$$

f.a

Determina per a quins valors dels paràmetres $a$ i $b$ l'endomorfisme $f$ és diagonalitzable. [1,5 p]

f.b

Per al cas concret $a = -1$ i $b = 1$, calcula els valors propis i els vectors propis associats a $f$. [1 p]

Considera ara un altre endomorfisme $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ que té com a matriu associada en la base canònica:$$B = \begin{pmatrix} 2 & c & -1 \\ 0 & d & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

g.a

Sabent que el vector $\vec{x} = (1, 2, 1)$ és un vector propi de $g$, troba els valors de $c$ i $d$. [1,25 p]

g.b

Suposant $c = d = 0$, troba les matrius $P$ i $D$ tals que $B = PDP^{-1}$. [1,25 p]

Considera ara un altre endomorfisme $g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ que té com a matriu associada en la base canònica:$$B = \begin{pmatrix} 2 & c & -1 \\ 0 & d & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

Prenent com a base els resultats obtinguts amb $c = d = 0$, on $B = PDP^{-1}$ amb:

$$D = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

c

Explica com calcularies $B^{50}$ de forma eficient deixant indicades les operacions necessàries. [0,5 p]

d

Donat el polinomi $p(t) = 2 + 3t - 5t^2$, explica com calcularies $p(B)$ de manera eficient i indica les operacions. [0,5 p]

Exercici 2 (4 punts). Diagonalització i SVD

Considera una matriu $A$ de $n$ files i $n$ columnes. Suposa que factoritzem aquesta matriu diagonalitzant-la:

$$A = P \cdot D \cdot P^{-1}$$

a.

Quantes files i columnes tenen les matrius $P$ i $D$? [0,5 punts]

b.

Què contenen les matrius $P$ i $D$? [0,5 punts]

Exercici 2 (4 punts). Diagonalització i SVD

Considera una matriu $A$ de $n$ files i $n$ columnes. Suposa que factoritzem aquesta matriu diagonalitzant-la:

$$A = P \cdot D \cdot P^{-1}$$

Considera ara una matriu $X$ de $m$ files i $n$ columnes. Suposa que la factoritzem usant la descomposició en valors singulars (SVD):$$X = U \cdot S \cdot V^T$$

a)

Quantes files i columnes tenen les matrius $U$, $S$ i $V$? [0,5 p]

b)

Explica com es pot utilitzar el càlcul de valors propis i vectors propis per a calcular les matrius $U$, $S$ i $V$. [0,5 p]

c)

Explica quina interpretació algebraica podem donar a les columnes de la matriu $U$ i a les columnes del producte de matrius $S \cdot V^T$. [0,5 p]

Suposa, a partir d'ara, que $m = 1000$ i $n = 100$.

d)

Calcula quantes columnes de la matriu $U$ caldria conservar per tal d'aconseguir un factor de compressió basat en la SVD igual al 56%. [1,5 p]

NOTA: El factor de compressió (FC) es defineix com:$$\mathrm{FC}(\%) = 100 \cdot \left(1 - \frac{\text{mida comprimit}}{\text{mida sense comprimir}}\right)$$