Examen de Álgebra Lineal UB 2016 · Punt de Control 1 (Curs 2016/17)

Problema 1 (5 punts). Determinants i sistemes d'equacions lineals

a. Sia $A = (c_1, c_2, c_3, c_4)$ una matriu d'ordre $4 \times 4$ amb determinant $|A| = 10$. Calculeu de forma justificada el determinant de les matrius següents:

•

•

•

Problema 1 (5 punts). Determinants i sistemes d'equacions lineals

b.

Donat el sistema d'equacions lineals amb $a, b \in \mathbb{R}$:

$$\begin{cases} bx + aby = a \\ 2y + z = b \\ ax - y + az = -b \end{cases}$$

Estudieu-lo en funció dels paràmetres $a$ i $b$, adjuntant una taula resum amb tots els casos possibles.

c.

Per als valors $a = 1$ i $b = 1$, trobeu la solució del sistema mitjançant el mètode de Gauss-Jordan.

Problema 2 (5 punts). Espais i subespais vectorials

a.

Sia $M_{2\times 2}$ el conjunt de matrius reals $2\times 2$ considerat com a espai vectorial (amb la suma interna usual i el producte per escalars com a operació externa respecte d'un cos). Pot ser aquest cos el conjunt dels nombres complexos? Per què? Pot ser el dels reals? Justifiqueu la resposta.

b.

Donat el subespai de $M_{2\times 2}$:

$$G = \left\langle \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \right\rangle$$

Trobeu per a quins valors de $\alpha$ i $\beta$ la matriu $M = \begin{pmatrix} \alpha & 7 \\ \beta & 2 \end{pmatrix}$ pertany a $G$.

$\alpha =$

$\beta =$

c.

En l'espai vectorial $P_3[x]$ dels polinomis de grau menor o igual que 3 amb coeficients reals, es considera el subconjunt:

$$F = \{p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 \in P_3[x] \mid p(x) = -p(-x)\}$$

Comproveu si $F$ és o no un subespai vectorial de $P_3[x]$.

d.

En $\mathbb{R}^4$, sia $W = \langle(2,4,0,4), (-6,0,3,3)\rangle$. Trobeu el valor del paràmetre $k$ per al qual es compleix la igualtat:

$$W = \langle(2,4,0,4), (-6,0,3,3), (2k, k, -3, 1)\rangle$$

Justifiqueu clarament la resposta.

$k =$