Examen de Álgebra Lineal UB 2013 · 1r Semestre - Gener 2013

Es defineix tot seguit l'aplicació:

$$\begin{aligned} f: P_2(x) &\longrightarrow \mathbb{R}^2 \\ a + bx + cx^2 &\longmapsto (a - b, a + c) \end{aligned}$$

PROBLEMA 1. Canvi de base

Considerem l'espai vectorial $P_2(x)$ constituït pels polinomis de grau menor o igual a 2 amb coeficients reals. Siguin $B_1$ i $B_2$ dues bases d'aquest espai:

$$B_1 = \{3, 1+x, 2x^2\}$$

$$B_2 = \{\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3\}$$

i la matriu de transició de la base $B_1$ (de sortida) a la base $B_2$ (d'arribada) ve donada per:

$$C_{B_1 B_2} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

a)

Trobeu els polinomis $\vec{v}_1, \vec{v}_2, \vec{v}_3$ que formen la base $B_2$. [1,5 punts]

Es defineix tot seguit l'aplicació:

$$\begin{aligned} f: P_2(x) &\longrightarrow \mathbb{R}^2 \\ a + bx + cx^2 &\longmapsto (a - b, a + c) \end{aligned}$$

a)

Demostreu si l'aplicació $f$ és lineal o no. [1 punt]

Sí

No

Es defineix tot seguit l'aplicació:

$$\begin{aligned} f: P_2(x) &\longrightarrow \mathbb{R}^2 \\ a + bx + cx^2 &\longmapsto (a - b, a + c) \end{aligned}$$

b)

Determineu una base i la dimensió del nucli de l'aplicació ($\ker f$). [0,5 punts]

c)

Trobeu una base i la dimensió de la imatge de l'aplicació ($\operatorname{Im} f$). [0,5 punts]

d)

Analitzeu si $f$ és: [0,5 punts]

1. Injectiva:

Sí

No

2. Exhaustiva:

Sí

No

3. Bijectiva:

Sí

No

PROBLEMA 2. Matrius associades, canvi de base i composició

Sigui l'aplicació lineal $f$ entre espais vectorials reals definida com:

$$f: M_{2\times 2} \longrightarrow \mathbb{R}^2$$

De la qual coneixem les imatges següents i elements del seu nucli:

$$f\left[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right] = (3, -2); \quad f\left[\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right] = (2, 0); \quad f\left[\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\right] = (2, 0); \quad \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \in \ker f$$

Considerem les bases:

$$B_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \right\} \subset M_{2\times 2}$$

$$B_2 = \{(0,1), (1,1)\} \subset \mathbb{R}^2$$

Considerem ara l'aplicació lineal $g: \mathbb{R}^2 \longrightarrow P_1(x)$, de la qual es coneix la matriu associada en bases $B_3$ i $B_4$:

$$G_{B_3 B_4} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$

on $B_3 = \{(1,1), (1,0)\}$ és base de $\mathbb{R}^2$ i $B_4 = \{x, 1\}$ és base de $P_1(x)$.

1.a

Determineu la matriu representativa de l'aplicació $f$ tenint $B_1$ com a base de partida i $B_2$ com a base d'arribada, $F_{B_1 B_2}$:

1.b

Donada la matriu $\vec{m} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, calculeu la seva imatge $f(\vec{m})$ en la base canònica de $\mathbb{R}^2$:

$f(\vec{m}) = ($

,

$)$

2.c

Trobeu la matriu associada a la composició $h = g \circ f$ referida a la base d'origen $B_1$ i a la base de destí $B_4$, $H_{B_1 B_4}$:

PROBLEMA 2. Matrius associades, canvi de base i composició

Sigui l'aplicació lineal $f$ entre espais vectorials reals definida com:

$$f: M_{2\times 2} \longrightarrow \mathbb{R}^2$$

De la qual coneixem les imatges següents i elements del seu nucli:

$$f\left[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right] = (3, -2); \quad f\left[\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right] = (2, 0); \quad f\left[\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\right] = (2, 0); \quad \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \in \ker f$$

Considerem les bases:

$$B_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \right\} \subset M_{2\times 2}$$

$$B_2 = \{(0,1), (1,1)\} \subset \mathbb{R}^2$$

Considerem ara l'aplicació lineal $g: \mathbb{R}^2 \longrightarrow P_1(x)$, de la qual es coneix la matriu associada en bases $B_3$ i $B_4$:

$$G_{B_3 B_4} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$

on $B_3 = \{(1,1), (1,0)\}$ és base de $\mathbb{R}^2$ i $B_4 = \{x, 1\}$ és base de $P_1(x)$.

1.c)

És injectiva l'aplicació $f$? Justifiqueu la resposta sense calcular les dimensions de $\ker f$ ni de $\operatorname{Im} f$. [0,5 p]

Sí

No

2.a)

Trobeu una base i la dimensió del nucli de $g$ ($\ker g$). Els vectors de la base han d'estar expressats com a polinomis o vectors propis de l'espai, no pas en coordenades o components. [0,75 p]

2.b)

Trobeu una base i la dimensió de la imatge de $g$ ($\operatorname{Im} g$). Els vectors no han d'estar expressats en coordenades o components. [0,75 p]