Exercici 1 - Canvi de base · Álgebra Lineal UB 2016

Tema: Coordenades i canvi de base · Del examen Examen 1r Semestre - Gener 2016 (2016)

Enunciado

Sigui el subconjunt de l'espai vectorial M2×3M_{2\times 3} definit per:

F={A=(abcdef)∈M2×3  |  a=2b+c, d=−c, e=c−b}F = \left\{ A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} \in M_{2\times 3} \;\middle|\; a = 2b + c,\ d = -c,\ e = c - b \right\}

Preneu ara la següent base de FF:

B1={(2100−10),(101−110),(000001)}B_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right\}

Considerant una altra base B2B_2 de FF per a la qual la matriu de transició de B2B_2 a B1B_1 és:

CB2B1=(1−10120001)C_{B_2 B_1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

a)

Troba els elements que componen la base B2B_2. [1 p]

b)

Sabent que el vector XX té coordenades X∣B2=(2,1,1)X|_{B_2} = (2, 1, 1) respecte de B2B_2, calcula X∣B1X|_{B_1} mitjançant dos procediments diferents. [2 p]

((

,

,

))

Enunciado: Exercici 1 - Canvi de base · Álgebra Lineal UB 2016

Solución

Según los criterios oficiales de corrección

a) Matriu v1 (fila 1, columna 1):

Solución: 3

a) Matriu v1 (fila 1, columna 2):

Solución: 1

a) Matriu v1 (fila 1, columna 3):

Solución: 1

a) Matriu v1 (fila 2, columna 1):

Solución: -1

a) Matriu v1 (fila 2, columna 2):

Solución: 0

a) Matriu v1 (fila 2, columna 3):

Solución: 0

a) Matriu v2 (fila 1, columna 1):

Solución: 0

a) Matriu v2 (fila 1, columna 2):

Solución: -1

a) Matriu v2 (fila 1, columna 3):

Solución: 2

a) Matriu v2 (fila 2, columna 1):

Solución: -2

a) Matriu v2 (fila 2, columna 2):

Solución: 3

a) Matriu v2 (fila 2, columna 3):

Solución: 0

a) Matriu v3 (fila 1, columna 1):

Solución: 0

a) Matriu v3 (fila 1, columna 2):

Solución: 0

a) Matriu v3 (fila 1, columna 3):

Solución: 0

a) Matriu v3 (fila 2, columna 1):

Solución: 0

a) Matriu v3 (fila 2, columna 2):

Solución: 0

a) Matriu v3 (fila 2, columna 3):

Solución: 1

b) Coordenada λ1 de X respecte de B1:

Solución: 1

b) Coordenada λ2 de X respecte de B1:

Solución: 4

b) Coordenada λ3 de X respecte de B1:

Solución: 1

b) Descripció i justificació dels dos procediments utilitzats:

Solución: Mètode 1: Multiplicació de la matriu de canvi de base pel vector de coordenades: X|_{B1} = C_{B2 B1} · X|_{B2}. Mètode 2: Reconstrucció explícita de la matriu X = 2 v1 + v2 + v3 en M_{2x3} i posterior resolució del sistema d'equacions lineals resultant d'igualar X a λ1 u1 + λ2 u2 + λ3 u3.

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