Problema 2 - Nucli i imatge · Álgebra Lineal UB 2013

PROBLEMA 2. Matrius associades, canvi de base i composició

Sigui l'aplicació lineal $f$ entre espais vectorials reals definida com:

$$f: M_{2\times 2} \longrightarrow \mathbb{R}^2$$

De la qual coneixem les imatges següents i elements del seu nucli:

$$f\left[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right] = (3, -2); \quad f\left[\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right] = (2, 0); \quad f\left[\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\right] = (2, 0); \quad \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \in \ker f$$

Considerem les bases:

$$B_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \right\} \subset M_{2\times 2}$$

$$B_2 = \{(0,1), (1,1)\} \subset \mathbb{R}^2$$

Considerem ara l'aplicació lineal $g: \mathbb{R}^2 \longrightarrow P_1(x)$, de la qual es coneix la matriu associada en bases $B_3$ i $B_4$:

$$G_{B_3 B_4} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$

on $B_3 = \{(1,1), (1,0)\}$ és base de $\mathbb{R}^2$ i $B_4 = \{x, 1\}$ és base de $P_1(x)$.

1.c)

És injectiva l'aplicació $f$? Justifiqueu la resposta sense calcular les dimensions de $\ker f$ ni de $\operatorname{Im} f$. [0,5 p]

Sí

No

2.a)

Trobeu una base i la dimensió del nucli de $g$ ($\ker g$). Els vectors de la base han d'estar expressats com a polinomis o vectors propis de l'espai, no pas en coordenades o components. [0,75 p]

2.b)

Trobeu una base i la dimensió de la imatge de $g$ ($\operatorname{Im} g$). Els vectors no han d'estar expressats en coordenades o components. [0,75 p]