Examen de Álgebra Lineal UB 2013 · Parcial (Punt de Control 1) - Novembre 2013

Exercici 1 (5 punts). Matrius invertibles, discussió de sistemes i mètode de Cramer

a.

[1,5 p] Determineu per a quins valors del paràmetre real $a$ és invertible la matriu següent, i deduïu la seva matriu inversa $M^{-1}$ en funció d'$a$ sense utilitzar el mètode de Gauss-Jordan:$$M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & a & a \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

Exercici 1 (5 punts). Matrius invertibles, discussió de sistemes i mètode de Cramer

b.

(2 p) Considereu el sistema lineal dependent dels paràmetres reals $a$ i $b$:

$$\begin{cases} x + y + 2z = 2 \\ x - y + az = 0 \\ 2x + z = b \end{cases}$$

Feu l'estudi complet del sistema d'equacions segons els valors que prenguin $a$ i $b$. Resumiu clarament les conclusions obtingudes mitjançant una taula.

Paràmetre $a$

Paràmetre $b$

Tipus de sistema

$a \neq -1$ (o $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$)

$\forall b \in \mathbb{R}$

$a = -1$

$b =$

$a = -1$

$b \neq$

c.

(1,5 p) Fixeu els valors $a = -1$ i $b = 2$ i resoleu el sistema resultant mitjançant la regla de Cramer.

Exercici 2 (5 punts). Subespais vectorials, generadors, bases i coordenades

Sigui $F$ el subconjunt de matrius quadrades $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ definit per:

$$F = \left\{ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_{2\times 2} \;\middle|\; b = c = a \quad\text{i}\quad d = a + 2 \right\}$$

a)

[1 p] Determineu raonadament si $F$ és un subespai vectorial de $M_{2\times 2}$.

Sí

No

b)

[1 p] Es defineix el conjunt $U$ com:$$U = \left\{ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_{2\times 2} \;\middle|\; b=a,\; c=0 \;\text{ i }\; d=a-2b \right\}$$Trobeu una base de $U$ i indiqueu quina és la seva dimensió.

c)

[1 p] Considerem el subespai generat $W = \left\langle \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} K & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \right\rangle$. Sabent que la matriu $\vec{m} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1/2 & 5/2 \end{pmatrix}$ pertany a $W$, calculeu el valor del paràmetre $K$.

Exercici 2 (5 punts). Subespais vectorials, generadors, bases i coordenades

Sigui $F$ el subconjunt de matrius quadrades $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ definit per:

$$F = \left\{ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in M_{2\times 2} \;\middle|\; b = c = a \quad\text{i}\quad d = a + 2 \right\}$$

d)

[1 p] Es pren una altra base de $W$ donada per $B = \left\{ \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \right\}$. Trobeu les coordenades o components de la matriu $\vec{m} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1/2 & 5/2 \end{pmatrix}$ respecte d'aquesta base $B$.

e)

[1 p] Tenint en compte la mateixa base $B$ de l'apartat anterior, determineu la matriu $\vec{x}$ si se sap que les seves components són $\vec{x}|_B = (0, 3)$.