Problema 1 - Aplicació lineal · Álgebra Lineal UB 2013

És $f$ una aplicació lineal?

Solución: Sí

Demostració de la linealitat de l'aplicació $f$:

Solución: Prendrem $\vec{u} = a + bx + cx^2$ i $\vec{v} = p + qx + rx^2$. Aleshores: $$\alpha \vec{u} + \beta \vec{v} = (\alpha a + \beta p) + (\alpha b + \beta q)x + (\alpha c + \beta r)x^2$$ Aplicant $f$ a aquesta combinació lineal: $$f(\alpha \vec{u} + \beta \vec{v}) = ((\alpha a + \beta p) - (\alpha b + \beta q), (\alpha a + \beta p) + (\alpha c + \beta r)) = (\alpha(a-b) + \beta(p-q), \alpha(a+c) + \beta(p+r))$$ D'altra banda: $$\alpha f(\vec{u}) + \beta f(\vec{v}) = \alpha(a-b, a+c) + \beta(p-q, p+r) = (\alpha(a-b) + \beta(p-q), \alpha(a+c) + \beta(p+r))$$ Atès que ambdues expressions coincideixen, queda provat que $f$ és una aplicació lineal.