Problema 2 - Matrius associades i composició · Álgebra Lineal UB 2013

PROBLEMA 2. Matrius associades, canvi de base i composició

Sigui l'aplicació lineal $f$ entre espais vectorials reals definida com:

$$f: M_{2\times 2} \longrightarrow \mathbb{R}^2$$

De la qual coneixem les imatges següents i elements del seu nucli:

$$f\left[\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right] = (3, -2); \quad f\left[\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right] = (2, 0); \quad f\left[\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\right] = (2, 0); \quad \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \in \ker f$$

Considerem les bases:

$$B_1 = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} \right\} \subset M_{2\times 2}$$

$$B_2 = \{(0,1), (1,1)\} \subset \mathbb{R}^2$$

Considerem ara l'aplicació lineal $g: \mathbb{R}^2 \longrightarrow P_1(x)$, de la qual es coneix la matriu associada en bases $B_3$ i $B_4$:

$$G_{B_3 B_4} = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$

on $B_3 = \{(1,1), (1,0)\}$ és base de $\mathbb{R}^2$ i $B_4 = \{x, 1\}$ és base de $P_1(x)$.

1.a

Determineu la matriu representativa de l'aplicació $f$ tenint $B_1$ com a base de partida i $B_2$ com a base d'arribada, $F_{B_1 B_2}$:

1.b

Donada la matriu $\vec{m} = \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$, calculeu la seva imatge $f(\vec{m})$ en la base canònica de $\mathbb{R}^2$:

$f(\vec{m}) = ($

,

$)$

2.c

Trobeu la matriu associada a la composició $h = g \circ f$ referida a la base d'origen $B_1$ i a la base de destí $B_4$, $H_{B_1 B_4}$: