Examen de Càlcul UB 2013 · 1r Semestre Gener 2013

PROBLEMA 1 (1 punt). Arrels d'un nombre complex

Sabent que el valor $w_0 = 1 + j$ és una de les arrels cúbiques del nombre complex $Z$, determineu el valor de $Z$ així com les arrels restants.

a)

b)

c)

PROBLEMA 2. Càlcul de límit mitjançant infinitèsims equivalents

Calculeu el límit següent:$$\lim_{n\to\infty} \frac{\sin\left(1 - \cos\left(\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right)\right)\right)}{\ln\left(1 + \frac{n^2}{n^2+1}\right)\cdot\left(e^{\frac{1}{n^2}} - 1\right)}$$

PROBLEMA 3 (2 punts). Teoremes de Rolle i Bolzano per a zeros d'una funció

Considereu la funció $f(x) = \operatorname{arctg} x - \frac{4}{5}x$.

a.

Amb l'ajut dels teoremes sobre funcions contínues i derivables, determineu el nombre exacte de zeros que té $f(x)$.

b.

Indiqueu els intervals on es localitza cadascun d'aquests zeros.

Indiqueu un interval per al zero negatiu, el valor o interval del zero central, i un interval per al zero positiu (per exemple: (-1, -1/2), 0, (1/2, 1)):

Podeu fer servir la gràfica i la taula de valors següents de la funció $y = \operatorname{arctg} x$:

x · -1 · -1/2 · -1/4 · 0 · 1/4 · 1/2 · 1

y = arctg x · -0,78 · -0,46 · -0,24 · 0 · 0,24 · 0,46 · 0,78

PROBLEMA 4 (1,5 punts). Estudi de continuïtat i derivabilitat per definició

Estudieu la continuïtat i la derivabilitat (fent ús de la definició de derivada en un punt) de la funció següent:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1 - \cos 2x}{x^2} & \text{si } -1 < x < 0 \\[2ex] e^x & \text{si } 0 \le x \le 1 \\[2ex] e \cdot x & \text{si } 1 < x < 2 \end{cases}$$

1.

2.

3.

4.

PROBLEMA 5 (2 punts). Polinomi de Taylor d'ordre 2 i terme de l'error

Trobeu el polinomi de Taylor de segon grau al voltant de $x = 0$ per a la funció $f(x) = \ln(1 + \sin x)$, així com l'expressió del terme de l'error o residu de Lagrange.

a)

b)

PROBLEMA 6 (2,5 punts). Estudi complet i representació gràfica d'una funció

Feu l'estudi de la funció $f(x) = 3x + x^{-2}$ i traceu la seva gràfica. Indiqueu de manera precisa:

Intervals de creixement i decreixement (extrems relatius).

Intervals de concavitat i convexitat (punts d'inflexió).

Equacions de les asímptotes (si en té).

a)

b)

c)

d)

e)