Problema 6 · Càlcul UB 2013

Intervals de creixement i decreixement (extrems relatius)

Solución: $x = \sqrt[3]{\frac{2}{3}}$ (mínim relatiu)

Intervals de concavitat i convexitat (punts d'inflexió)

Solución: Còncava cap amunt ($\cup$) a tot el domini; no té punts d'inflexió

Asímptota vertical

Solución: $x = 0$

Asímptota obliqua

Solución: $y = 3x$

Traçat de la gràfica de la funció

Solución: Gràfica de $f(x) = 3x + \frac{1}{x^2}$ amb: - Asímptota vertical en $x = 0$, anant cap a $+\infty$ pels dos costats. - Asímptota obliqua $y = 3x$ quan $x \to \pm\infty$. - Tall amb l'eix X a $x = -1/\sqrt[3]{3} \approx -0{,}69$. - Branca esquerra creixent en $(-\infty, 0)$, asimptòtica a $y = 3x$ per l'esquerra i a $x = 0$ per la dreta. - Branca dreta amb mínim relatiu en $x = \sqrt[3]{2/3} \approx 0{,}874$, decreixent des de $+\infty$ fins al mínim i creixent cap a $+\infty$ aproximant-se a $y = 3x$. Tota la corba amb concavitat positiva (còncava cap amunt).