Examen de Càlcul UB 2013 · Punt de Control. Març 2013

Problema 1 (1,5 punts). Integral de Riemann i límit

Considereu la següent relació:$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{\sqrt{1+n} + \sqrt{2+n} + \cdots + \sqrt{n+n}}{n\sqrt{n}} \right) = \int_{0}^{1} f(x)\,dx$$

a.

$f(x) =$

b.

Valor del límit =

Problema 2 (1 punt). Integral impròpia discontínua a l'origen

Expliqueu raonadament per què la següent igualtat no és correcta i oferiu-ne el càlcul adequat:$$\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^2}\,dx = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2$$

a.

b.

c.

La integral és (divergent o convergent a un valor / +∞)

Problema 3 (1,5 punts). Funció integral i càlcul de límit

Sigui la funció integral:

$$F(x) = \int_{1}^{x^3} \frac{e^t}{\sqrt{t}}\, dt$$

a.

Demostreu que la funció és estrictament creixent a l'interval $[1, \infty)$.

b.

Calculeu el límit següent:

$$\lim_{x \to \infty} \frac{F(x)}{e^{x^3}}$$

Problema 4 (2 punts). Integral indefinida d'arrel quadràtica

Calculeu la següent integral indefinida:

$$\int \frac{1}{\sqrt{1 - 2x - 5x^2}}\,dx$$

Problema 5 (2 punts). Integral de funció racional

Trobeu la primitiva de la següent fracció racional:

$$\int \frac{2x^3 - 2x^2 - 2x - 1}{x^4 - x}\,dx$$

Problema 6 (2 punts). Integral trigonomètrica mitjançant canvi de variable

Resoleu la següent integral:

$$\int \frac{dx}{4 - 5\sin x}$$