Examen de Calculo de una Variable UB 2011 · Càlcul d'una Variable - Febrer 2011

Qüestió 1 (1 punt). Concepte i càlcul de límit

a.

Doneu la definició formal del límit d'una funció $f(x)$ quan la variable s'apropa a un valor $a$: $\lim_{x\to a} f(x) = b$.

b.

Calculeu el límit següent:$$\lim_{x\to 2} \frac{3x + |x-2|}{x}$$

Qüestió 2 (1 punt). Concepte i paràmetres de derivabilitat

a.

Enuncieu la definició de derivada d'una funció en un punt determinat.

b.

Considereu la funció definida a trossos:$$f(x) = \begin{cases} ax + b, & \text{si } x < 1 \\ x^2 + x + 1, & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$Trobeu els valors que han de prendre les constants reals $a$ i $b$ per tal que $f(x)$ resulti derivable per a tot $x \in \mathbb{R}$.

Qüestió 3 (1 punt). Identitat del logaritme complex i l'arctangent

Verifiqueu la següent relació per a qualsevol valor real $x \in \mathbb{R}$:$$\frac{1}{2i} \operatorname{Ln}\left(\frac{1+ix}{1-ix}\right) = \arctan x$$ Indicació: Expresseu els nombres complexos $1 \pm ix$ en la seva forma polar.

Desenvolupeu aquí la verificació pas a pas:

Qüestió 4 (1 punt). Derivació i integració indefinida

a. Obtingueu la primera derivada de la funció:$$f(x) = \ln \sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}}$$Simplifiqueu al màxim el resultat expressant-lo en termes de $\cos x$.

Qüestió 4 (1 punt). Derivació i integració indefinida

b.

Calculeu la primitiva següent:

$$\int x^2 e^{-2x} dx$$

Problema 1 (2 punts). Estudi i representació gràfica d'una funció racional

Donada la funció real de variable real $f(x) = \frac{x^2+1}{1-2x}$:

a.

Determineu la seva funció derivada primera, $f'(x)$.

b.

Calculeu la segona derivada, $f''(x)$.

c.

Indiqueu el domini de definició, els punts de tall amb els eixos de coordenades i analitzeu els punts on la funció presenti discontinuïtats.

d.

Trobeu totes les seves rectes asímptotes (verticals, horitzontals i obliqües), si en té.

e.

Trobeu els extrems relatius (màxims i mínims) i els punts d'inflexió, si existeixen.

f.

Traceu un esbós gràfic de $f(x)$ degudament justificat a partir dels resultats obtinguts als apartats previs.

Es considera l'equació en el pla real següent:$$4x^2 + 9y^2 - 8x - 32 = 0$$

a)

Identifiqueu de quin tipus de cònica es tracta trobant la seva expressió canònica.

b)

Indiqueu els seus elements i paràmetres geomètrics característics (centre, vèrtexs, focus i excentricitat) i dibuixeu un esquema representatiu.

c)

Calculeu el valor de l'àrea compresa entre la cònica i les rectes verticals $x = 5/2$ i $x = 4$. Indicació: $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$.

Problema 3 (2 punts). Polinomi de MacLaurin i aproximació

a)

Escriviu el desenvolupament en sèrie de MacLaurin fins a l'ordre $n = 3$, acompanyat del terme del residu de Lagrange corresponent, per a la funció:

$$f(x) = (1+x)^{1/k}, \quad (k \in \mathbb{N})$$

b)

Estimeu el valor de $28^{1/3}$ emprant el polinomi de MacLaurin d'ordre $n = 1$ de la funció anterior amb valors de $x$ petits. Calculeu una cota superior per a l'error absolut comès en l'aproximació, deixant el càlcul simplificat al màxim.