Problema 3 · Calculo de una Variable UB 2011

a) Escriviu el desenvolupament en sèrie de MacLaurin fins a l'ordre n = 3, acompanyat del terme del residu de Lagrange corresponent, per a la funció: f(x) = (1+x)^(1/k), (k in N)

Solución: $f(x) = 1 + \frac{1}{k}x + \frac{1-k}{2k^2}x^2 + \frac{(1-k)(1-2k)}{6k^3}x^3 + R_3(x)$, on $R_3(x) = \frac{(1-k)(1-2k)(1-3k)}{24k^4}(1+\xi)^{\frac{1-4k}{k}}x^4$ amb $0 < \xi < x$

b) Estimeu el valor de 28^(1/3) emprant el polinomi de MacLaurin d'ordre n = 1 de la funció anterior amb valors de x petits.

Solución: $82/27$ / $3 + 1/27$ / $3{,}037$

b) Calculeu una cota superior per a l'error absolut comès en l'aproximació, deixant el càlcul simplificat al màxim.

Solución: $1/2187$ / $1/3^7$ / $4{,}57\cdot 10^{-4}$