Problema 1 · Calculo de una Variable UB 2011

a. Determineu la seva funció derivada primera, f'(x).

Solución: (-2x^2 + 2x + 2) / (1 - 2x)^2

b. Calculeu la segona derivada, f''(x).

Solución: 10 / (1 - 2x)^3

c. Indiqueu el domini de definició i analitzeu els punts on la funció presenti discontinuïtats.

Solución: 1/2

c. Punts de tall amb els eixos de coordenades.

Solución: (0, 1) / (0,1)

d. Recta asímptota vertical.

Solución: x = 1/2 / 1/2 / 0.5

d. Recta asímptota obliqua (y = mx + n).

Solución: y = -1/2*x - 1/4 / -1/2*x - 1/4

e. Abscissa del màxim relatiu.

Solución: (1 + sqrt(5))/2 / 1.62

e. Abscissa del mínim relatiu.

Solución: (1 - sqrt(5))/2 / -0.62

f. Traceu un esbós gràfic de f(x) degudament justificat a partir dels resultats obtinguts als apartats previs.

Solución: La corba presenta dues branques separades per l'asímptota vertical $x = 1/2$: la branca esquerra conté el mínim a $x_2 \approx -0{,}62$, passa pel tall $(0, 1)$ i s'acosta a $+\infty$ a l'esquerra de $x = 1/2$ i a l'asímptota obliqua per l'esquerra; la branca dreta sorgeix de $-\infty$ a la dreta de $x = 1/2$, puja fins al màxim relatiu a $x_1 \approx 1{,}62$ i decreix aproximant-se a l'asímptota obliqua.