Ejercicio Qüestió 3 · Calculo de una Variable UB 2011

Verifiqueu la següent relació per a qualsevol valor real x in R: 1/(2i) Ln((1+ix)/(1-ix)) = arctan x.

Solución: Expressem els nombres complexos del numerador i del denominador en coordenades polars: - Mòdul de $1 \pm ix$: $|1 \pm ix| = \sqrt{1^2 + (\pm x)^2} = \sqrt{1 + x^2}$. - Argument: considerant $\theta = \arctan(x/1) = \arctan x$, tenim que l'argument de $1 + ix$ és $\theta$ i el de $1 - ix$ és $-\theta$. Així doncs: $$1 + ix = \sqrt{1 + x^2} e^{i \arctan x}, \qquad 1 - ix = \sqrt{1 + x^2} e^{-i \arctan x}$$ Dividint ambdues expressions: $$\frac{1 + ix}{1 - ix} = \frac{\sqrt{1 + x^2} e^{i \arctan x}}{\sqrt{1 + x^2} e^{-i \arctan x}} = e^{2i \arctan x} = 1 \cdot e^{i(2 \arctan x)}$$ Prenent el logaritme principal del nombre complex ($\operatorname{Ln} z = \ln |z| + i \arg z$): $$\operatorname{Ln}\left(\frac{1 + ix}{1 - ix}\right) = \ln(1) + i(2 \arctan x) = 2i \arctan x$$ Multiplicant finalment pel factor $\frac{1}{2i}$ s'obté la identitat desitjada: $$\frac{1}{2i} \operatorname{Ln}\left(\frac{1 + ix}{1 - ix}\right) = \frac{1}{2i}(2i \arctan x) = \arctan x$$