Examen de Matemáticas II UB 2020 · primera prova d'avaluació novembre 2020

Exercici 1 [2 punts]. Hipèrbola i hiperboloide

a)

Determineu l'equació canònica reduïda corresponent a una hipèrbola que talla l'eix d'ordenades $Y$ en els punts $(0, 5)$ i $(0, -5)$, sabent a més que el semieix $a = 3$.

b)

Formuleu l'expressió implícita reduïda genèrica corresponent a un hiperboloide d'una fulla.

Exercici 2 [2 punts]. Funció implícita i uniformitat

Es considera la relació donada de manera implícita: $$(x - 2)^2 + y^2 + (z - 3)^2 = 9$$ Aïlleu la variable dependent per expressar-la en forma explícita i justifiqueu si es tracta d'una funció uniforme o multiforme.

a)

b)

Uniforme

Multiforme

Exercici 3 [2 punts]. Domini, característiques i recorregut

Donada la funció real de dues variables reals: $$z = f(x, y) = \ln(x^2 + y^2 - 9)$$ Calculeu el seu domini de definició, descriviu la seva representació gràfica i deduïu de manera justificada les seves propietats topològiques. Determineu també raonadament el seu recorregut (o conjunt imatge).

a)

b)

c)

Exercici 4 (2 punts). Corbes de nivell

Trobeu les corbes de nivell de les següents funcions per a les cotes indicades, identifiqueu de quina corba cònica o geomètrica es tracta i descriviu la seva representació gràfica:

a.

$z = 4x^2 + y^2$ a la cota $z = 8$.

b.

$z = x^2 - 4x + y^2 - 8y + 3$ a la cota $z = -8$.

Exercici 5 (2 punts). Derivades parcials

Considereu la funció:

$$z = x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4$$

Calculeu les seves derivades parcials de primer ordre respecte a $x$ i a $y$, i avalueu-les en el punt $P(3,2)$.