Examen de Matemáticas II UB 2020 · 1a Prova d'Avaluació (Novembre 2020)

Exercici 1 (2 punts). Hipèrbola i paraboloide el·líptic

a.

Determineu l'equació reduïda de la hipèrbola que talla l'eix d'abscisses en els punts $(3,0)$ i $(-3,0)$, sabent que el paràmetre $b = 5$.

b.

Indiqueu l'expressió analítica explícita reduïda en forma genèrica d'un paraboloide el·líptic.

Exercici 2 (2 punts). Funció implícita i explícita

A partir de la relació funcional expressada en forma implícita:

$$xyz^2 + 4x^2y^2 - 8 = 0$$

aïlleu la variable $z$ per escriure-la en forma explícita i justifiqueu si es tracta d'una funció uniforme o multiforme.

a)

b)

Uniforme

Multiforme

Considereu la funció real de dues variables:

$$z = f(x, y) = \frac{12}{\pm\sqrt{36 - x^2 - y^2}}$$

Calculeu el seu domini de definició, descriviu la seva representació gràfica, detalleu-ne les propietats topològiques i determineu de manera raonada el seu recorregut (o conjunt imatge).

a)

b)

c)

Exercici 4 (2 punts). Corbes de nivell

Trobeu l'equació de les corbes de nivell per a cadascuna de les funcions següents a l'alçada especificada. Identifiqueu el tipus de corba geomètrica obtinguda i descriviu els seus elements principals per a representar-la:

a.

$z = x^2 + 4y^2$ a la cota $z = 8$.

b.

$z = x^2 - 4x + y^2 - 6y + 1$ a la cota $z = 4$.

Exercici 5 (2 punts). Derivades parcials i valoració

Donada la funció:

$$z = \frac{x^2 + 2y^2 + 1}{3x^2 - y^2}$$

calculeu les seves derivades parcials primeres respecte de $x$ i respecte de $y$, i avalueu el valor numèric de cadascuna en el punt $P(1, 1)$.

1.

2.