Examen de Matemáticas II UB 2020 · seguiment de Matemàtiques II (Novembre 2020)

Exercici 1 [2 punts]. Classificació de funcions i forma canònica i explícita d'una quàdrica

a.

Per a cadascuna de les expressions funcionals següents:

$$y = f(x) = \ln(4x^2 - 5x + 6) + \sqrt{x - 2}$$

$$g(x, y) = (u, v) = (x + 2y, y - 2x)$$

Indiqueu de forma raonada:

El nombre de variables independents i dependents (components del vector imatge).

La tipologia de la funció segons la classificació esquemàtica estàndard respecte de les seves variables.

La denominació formal de la seva representació gràfica associada (sense necessitat de fer el dibuix).

b.

Determineu l'equació canònica d'un el·lipsoide amb centre al punt $C(4, -2, 3)$ i semieixos de longitud $a = 1$, $b = 5$ i $c = \sqrt{2}$. Posteriorment, aïlleu la variable $z$ per escriure la funció en forma explícita i justifiqueu si es tracta d'una funció uniforme o multiforme.

Exercici 2

Es consideren les funcions de dues variables independents següents:

$$z = f(x, y) = 3 - \sqrt{16 - (x - 3)^2 - (y + 1)^2}$$

$$z = g(x, y) = \log(16 - x^2 + 4y^2)$$

Per a cadascuna d'elles:

a. Trobeu analíticament el domini de definició.

b. Representeu-lo gràficament sobre el pla cartesià en sistemes d'eixos independents.

c. Descriviu de manera raonada les propietats topològiques del domini (si és obert o tancat, acotat o no acotat, compacte i convex).

d. Calculeu raonadament el recorregut o conjunt imatge corresponent.

Anàlisi de la funció $f(x, y) = 3 - \sqrt{16 - (x - 3)^2 - (y + 1)^2}$

a)

b)

Representació gràfica del domini de $f(x, y)$ en el pla cartesià:

c)

Propietats topològiques del domini de $f$ (marqueu les que compleix):

Tancat

Obert

Acotat

Compacte

Convex

d)

Anàlisi de la funció $g(x, y) = \log(16 - x^2 + 4y^2)$

a)

b)

Representació gràfica del domini de $g(x, y)$ al pla cartesià donada a l'enunciat:

c)

Propietats topològiques del domini de $g$ (marqueu les que compleix):

Obert

Tancat

Acotat

No acotat

Compacte

Convex

d)

Exercici 3 [2 punts]. Determinació i caracterització d'una corba de nivell

Considereu la funció real de dues variables independents següent:

$$z = f(x, y) = +\sqrt{8 - x^2 - 4y^2 + 2x + 8y}$$

Trobeu l'equació de la corba de nivell associada a l'alçada $z = 3$. Indiqueu de quina figura geomètrica es tracta, calculant-ne els elements característics (centre i semieixos), i representeu-la gràficament.

Exercici 4 (2 punts). Càlcul de derivades parcials primeres i avaluació puntual

Calculeu les expressions simplificades de les derivades parcials primeres de cadascuna de les funcions següents i, tot seguit, avalueu-les en el punt especificat:

a.

$f(x, y) = \ln(2x - y) - \cos(2xy - 2) + 3y^2 - x^3$ en el punt $P(1, 1)$.

b.

$g(x, y) = e^{xy^2} \cdot (5x^2 - y)$ en el punt $Q(2, 1)$.