Ejercicios de Derivades parcials, gradient i diferencial

10 ejercicios de Derivades parcials, gradient i diferencial que han salido en los exámenes de Matemáticas II de la UB (Grado en Economía) 2020. Con solución.

Pregunta 1 · 2020

Pregunta 1: Càlcul de la matriu jacobiana i el determinant jacobià simplificat de f(x,y) = (e^(xy) sin(y), e^(xy) cos(y)), i determinació dels paràmetres reals a, b, c del camp escalar z = ax^3 + by^2 + 5cx - 6xy a partir de J|_P = (-15, 2) i |H|_P = 60 en P(1,1).

Pregunta 2 · 2020

Pregunta 2: Determinació del caràcter creixent o decreixent de la funció z = 2*sqrt(8x - 3y) + (x - 2y)/(x + 2y) en el punt P(9, -3) avaluant la derivada direccional en les direccions de: a) el vector PQ amb Q(10, -4); b) angle de 60 graus respecte a l'eix X positiu.

Pregunta 3 · 2020

Pregunta 3: Es considera u = f(x,y,z) = ln((x^2 - y^2)/z). a) Calcular du en P(3,2,1) amb dx=0.2, dy=0.3, dz=-0.1. b) Calcular la variació real Δu i els errors absolut i relatiu en aproximar Δu per du.

Pregunta 4 · 2020

Pregunta 4: Donada u = f(x,y,z) = 3y^2 z + (z e^(-2x))/y. a) Determinar la matriu hessiana H en P(0,-1,3). b) Calcular d^2 u en P(0,-1,3) amb dx=-0.5, dy=0.4, dz=-0.3.

Exercici 5 · 2020

Donada la funció z = (x^2 + 2y^2 + 1)/(3x^2 - y^2), calculeu les seves derivades parcials primeres respecte de x i respecte de y, i avalueu el seu valor numèric en el punt P(1, 1).

Exercici 5 · 2020

Donada la funció z = (x^2 + 2y^3)·ln(3xy), calculeu les seves derivades parcials de primer ordre i avalueu el seu valor exacte en el punt P(1/3, 1).

Exercici 5 · 2020

Per a z = (x^2 + 2x + 3y + 4) * e^(2xy), calculeu les derivades parcials primeres dz/dx i dz/dy, i avalueu el valor exacte en el punt P(1,0).

Problema 4 · 2020

Exercici 4 (2 punts). Càlcul de derivades parcials primeres i avaluació puntual de les funcions f(x, y) = ln(2x - y) - cos(2xy - 2) + 3y^2 - x^3 en P(1, 1) i g(x, y) = e^(xy^2) · (5x^2 - y) en Q(2, 1).

Exercici 5 · 2020

Considereu la funció z = x^4 - 4x^3y + 6x^2y^2 - 4xy^3 + y^4. Calculeu les seves derivades parcials de primer ordre respecte a x i a y, i avalueu-les en el punt P(3,2).

Exercici 4 · 2020

Per a cadascuna de les funcions multivariable f(x, y) = sin(5xy) - e^(2x^2y) + 4x^2 - 8y i g(x, y) = sqrt(2x^2 + 3y^2 - 6xy), calculeu les derivades parcials de primer ordre simplificades i avalueu-les en els punts P(0,1) i Q(1,2).

Otros temas de Matemáticas II