Examen de Matemáticas II UB 2020 · 1a Prova d'Avaluació de Matemàtiques II (Novembre 2020)

Exercici 1 [2 punts]. Equacions còniques i quàdriques

Responeu a les qüestions següents sobre llocs geomètrics:

a.

Escriviu l'equació reduïda corresponent a una el·lipse amb semieixos $a = \sqrt{2}$ i $b = 2.5$.

b.

Determineu l'equació reduïda d'una esfera centrada en el punt $(2, -3, 1)$ i que té radi $R = 5$.

Exercici 2 [2 punts]. Forma explícita i tipus de funció

Es considera la funció expressada en forma implícita:

$$2x^2 + 2yz + z^2 = 10$$

Aïlleu la variable dependent $z$ per expressar-la en forma explícita i determineu raonadament si es tracta d'una funció uniforme o multiforme.

A

Uniforme

B

Multiforme

Exercici 3 [2 punts]. Estudi del domini i recorregut

Sigui la funció de dues variables reals:

$$z = f(x, y) = \ln(36 - 4x^2 - 9y^2)$$

Determineu el seu domini de definició, descriviu com es representa gràficament i indiqueu raonadament les seves propietats topològiques (característiques). Calculeu també de forma raonada el seu conjunt imatge o recorregut.

1.

2.

3.

Exercici 4 (2 punts). Corbes de nivell

Trobeu les corbes de nivell associades a cadascuna de les funcions següents per a les altures especificades. Indiqueu la tipologia de corba obtinguda i detalleu els seus elements principals per tal de representar-la gràficament:

a.

$z = 4x^2 - y^2$ per a l'altura $z = 16$.

b.

$z = x^2 - 4x + y^2 - 8y + 1$ per a l'altura $z = -10$.

Exercici 5 (2 punts). Derivació parcial

Donada la funció de dues variables:

$$z = (x^2 + 2y^3) \cdot \ln(3xy)$$

Calculeu les seves derivades parcials de primer ordre, $\frac{\partial z}{\partial x}$ i $\frac{\partial z}{\partial y}$, i avalueu el seu valor exacte en el punt $P\left(\frac{1}{3}, 1\right)$.

a)

b)